Выразим через функцию Лапласа Исследуем сходимость несобственного интеграла Вычислим значение интеграла Несобственные интегралы второго рода Формула интегрирования по частям Производная сложной функции

[an error occurred while processing this directive]

Интегралы от функций, рациональным образом зависящих от $ x$ и $ \sqrt{ax^2+bx+c}$

Вычислим интеграл $\displaystyle \int\frac{dx}{x\sqrt{x^2+2x-1}}.$

 

Выделим полный квадрат в подкоренном выражении:
$\displaystyle x^2+2x-1=(x^2+2x+1)-2=(x+1)^2-2,$

и сделаем замену $ z=x+1=\frac{\sqrt{2}}{\cos t}$ :

$\displaystyle \int\frac{dx}{x\sqrt{x^2+2x-1}}=
 \left\vert\begin{array}{l}
 x+1...
...l(\frac{\sqrt{2}}{\cos t}-1\Bigr)\sqrt{2}\vert\mathop{\rm tg}\nolimits t\vert}=$   
$\displaystyle =\int\mathop{\rm sign}\nolimits (\mathop{\rm tg}\nolimits t)\frac{dt}{\sqrt{2}-\cos t}.$   

Рассмотрим два случая: $ \mathop{\rm tg}\nolimits t>0$ и $ \mathop{\rm tg}\nolimits t<0$ . Если $ \mathop{\rm tg}\nolimits t>0$ , то есть если $ t\in(0;\frac{\pi}{2})$ или $ x>\sqrt{2}-1$ , то интеграл равен

$\displaystyle \int\frac{dt}{\sqrt{2}-\cos t}.$

Если же $ \mathop{\rm tg}\nolimits t<0$ , то есть при $ x<-\sqrt{2}-1$ , интеграл равен

$\displaystyle -\int\frac{dt}{\sqrt{2}-\cos t}.$

Интегралы вычисляются с помощью универсальной замены $ u=\mathop{\rm tg}\nolimits \frac{t}{2}$ :

$\displaystyle \int\frac{dt}{\sqrt{2}-\cos t}=
 \left\vert\begin{array}{l}
 u=\m...
... 
 dt=\frac{2du}{1+u^2}\\ 
 \cos t=\frac{1-u^2}{1+u^2}
 \end{array}\right\vert=$   
$\displaystyle \int\frac{\frac{2du}{1+u^2}}{\sqrt{2}-\frac{1-u^2}{1+u^2}}=
 2\in...
...2}+1)u^2+(\sqrt{2}-1)}=
 \frac{2}{\sqrt{2}+1}\int\frac{du}{u^2+(\sqrt{2}-1)^2}=$   
$\displaystyle =2\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac{u}{\sqrt{2}-1}+C
 =2\mathop{\...
...c{\mathop{\rm tg}\nolimits \frac{\arccos\frac{\sqrt{2}}{x+1}}{2}}{\sqrt{2}-1}+C$   

(если $ x>\sqrt{2}-1$ ); в качестве упражнения выпишите, что получается при $ x<-\sqrt{2}-1$ ).

. Пусть функция f(x) определена на отрезке [a,b] и монотонна на этом отрезке. Тогда f(x) может иметь на этом отрезке только точки разрыва первого рода.

 Док-во. Рассмотрим для определённости случай монотонно возрастающей функции. Пусть х0Î[a,b] и не является левым концом этого отрезка. Рассмотрим полуинтервал [a, х0). В разделе 4.3.2. Свойства сходящейся последовательности мы доказали, что монотонно возрастающая ограниченная сверху последовательность имеет предел. Совершенно также можно доказать, что функция, монотонно возрастающая на полуинтервале [a, х0), множество значений которой ограничено на этом интервале, обязана иметь . Действительно, так как множество  ограничено сверху (одна из верхних границ - значение f(х0)), оно имеет верхнюю грань М*, обладающую тем свойством, что для "e>0 $ х1Î[a, х0), в котором f(х1)> М* - e. По монотонности функции и по определению верхней грани для "х: х1>х> х0 справедливо неравенство М* - e< f(х1)< f(х)£ М*, что означает выполнение условий существования  с d= х0- х1. При этом возможны два варианта: либо f(х0)=М*, тогда f(х) непрерывна слева в точке х0; либо f(х0)>М*, тогда f(х) имеет в точке х0 скачок, т.е. разрыв первого рода.


Рациональные функции и их интегрирование