Выразим через функцию Лапласа Исследуем сходимость несобственного интеграла Вычислим значение интеграла Несобственные интегралы второго рода Формула интегрирования по частям Производная сложной функции

[an error occurred while processing this directive]

Равенство смешанных частных производных

Если две производных $\displaystyle \frac{\pat^5f}{\pat x_5\pat x_2\pat x_5\pat x_1\pat x_2}$ и $\displaystyle \frac{\pat^5f}{\pat x_1\pat x_2^2\pat x_5^2}$

 

 

непрерывны, то они совпадают, так как соответствующие списки номеров переменных равны, соответственно, $ \{5;2;5;1;2\}$ и $ \{1;2;2;5;5\}$ и отличаются лишь порядком перечисления номеров. Значит, частные производные отличаются лишь порядком дифференцирований, и поэтому

 

$\displaystyle \frac{\pat^5f}{\pat x_5\pat x_2\pat x_5\pat x_1\pat x_2}=
\frac{\pat^5f}{\pat x_1\pat x_2^2\pat x_5^2}.$

В этом примере перестановки дифференцирований можно выполнить в следующем порядке:

$\displaystyle \frac{\pat^5f}{\pat x_5\pat x_2\pat x_5\pat x_1\pat x_2}=
 \frac{...
..._5\pat x_1\pat x_2}=
 \frac{\pat^5f}{\pat x_2\pat x_5\pat x_1\pat x_5\pat x_2}=$    
$\displaystyle =\frac{\pat^5f}{\pat x_2\pat x_1\pat x_5\pat x_5\pat x_2}=
 \frac...
..._5\pat x_5\pat x_2}=
 \frac{\pat^5f}{\pat x_1\pat x_2\pat x_5\pat x_2\pat x_5}=$    
$\displaystyle =\frac{\pat^5f}{\pat x_1\pat x_2\pat x_2\pat x_5\pat x_5}=
 \frac{\pat^5f}{\pat x_1\pat x_2^2\pat x_5^2}.$    

При первой и четвёртой перестановках переставляемые диффиеренцирования -- внешние и выполняются непосредственным применением теоремы к функциям $ \frac{\textstyle{\pat^3f}}{\textstyle{\pat x_5\pat x_1\pat x_2}}(x)$ и $ \frac{\textstyle{\pat^3f}}{\textstyle{\pat x_5\pat x_5\pat x_2}}(x)$ соответственно; эти производные третьего порядка предполагаются непрерывными. При остальных перестановках переставляются внутренние дифференцирования. При этом, например, при второй перестановке, рассуждаем так: имеем равенство

 

$\displaystyle \frac{\pat^5f}{\pat x_2\pat x_5\pat x_5\pat x_1\pat x_2}=
\frac{...
...c{\pat^2}{\pat x_5\pat x_1}\bigl(\frac{\partial f}{\partial x_2}\bigr)\Bigr).
$

Функции $ \frac{\textstyle{\pat^2}}{\textstyle{\pat x_5\pat x_1}}\bigl(\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_2}}\bigr)$ и $ \frac{\textstyle{\pat^2}}{\textstyle{\pat x_1\pat x_5}}\bigl(\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_2}}\bigr)$ непрерывны по предположению, так как содержат меньше дифференцирований по $ x_2$ и $ x_5$ , чем исходные производные пятого порядка, и столько же дифференцирований по остальным переменным. Поэтому

 

$\displaystyle \frac{\textstyle{\pat^2}}{\textstyle{\pat x_5\pat x_1}}\bigl(\dis...
...e{\pat x_1\pat x_5}}\bigl(\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_2}}\bigr),$

и мы можем продолжить равенство:

 

$\displaystyle \frac{\pat^2}{\pat x_2\pat x_5}\Bigl(
\frac{\pat^2}{\pat x_5\pat...
... x_2}\bigr)\Bigr)=
\frac{\pat^5f}{\pat x_2\pat x_5\pat x_1\pat x_5\pat x_2},
$

. Пусть функция f(x) определена на отрезке [a,b] и монотонна на этом отрезке. Тогда f(x) может иметь на этом отрезке только точки разрыва первого рода.

 Док-во. Рассмотрим для определённости случай монотонно возрастающей функции. Пусть х0Î[a,b] и не является левым концом этого отрезка. Рассмотрим полуинтервал [a, х0). В разделе 4.3.2. Свойства сходящейся последовательности мы доказали, что монотонно возрастающая ограниченная сверху последовательность имеет предел. Совершенно также можно доказать, что функция, монотонно возрастающая на полуинтервале [a, х0), множество значений которой ограничено на этом интервале, обязана иметь . Действительно, так как множество  ограничено сверху (одна из верхних границ - значение f(х0)), оно имеет верхнюю грань М*, обладающую тем свойством, что для "e>0 $ х1Î[a, х0), в котором f(х1)> М* - e. По монотонности функции и по определению верхней грани для "х: х1>х> х0 справедливо неравенство М* - e< f(х1)< f(х)£ М*, что означает выполнение условий существования  с d= х0- х1. При этом возможны два варианта: либо f(х0)=М*, тогда f(х) непрерывна слева в точке х0; либо f(х0)>М*, тогда f(х) имеет в точке х0 скачок, т.е. разрыв первого рода.


Рациональные функции и их интегрирование