Выразим через функцию Лапласа Исследуем сходимость несобственного интеграла Вычислим значение интеграла Несобственные интегралы второго рода Формула интегрирования по частям Производная сложной функции

[an error occurred while processing this directive]

Интегралы от функций, рациональным образом зависящих от экспоненты

Найдём интеграл $\displaystyle \int\frac{e^x+1}{e^{3x}-2e^{2x}+e^x}dx.$

 

Выполняя естественную замену $ u=e^x$ , получаем:

 

$\displaystyle \int\frac{e^x+1}{e^{3x}-2e^{2x}+e^x}dx=
\int\frac{u+1}{u^3-2u^2+u}\cdot\frac{du}{u}=
\int\frac{u+1}{u^2(u-1)^2}\,du.$

Подынтегральную дробь разложим в сумму простейших дробей. Разложение будет иметь вид

 

$\displaystyle \frac{u+1}{u^2(u-1)^2}=
\frac{A}{u^2}+\frac{B}{u}+\frac{C}{(u-1)^2}+\frac{D}{u-1}.$

Приводя правую часть равенства к общему знаменателю и приравнивая числители, получаем:

 

$\displaystyle u+1=A(u-1)^2+Bu(u-1)^2+Cu^2+Du^2(u-1).$

При "удобном" значении $ u=1$ получаем $ 2=C\cdot1^2$ , откуда

 

$\displaystyle C=2.$

При "удобном" значении $ u=0$ получаем $ 1=A\cdot(-1)^2$ , откуда

 

$\displaystyle A=1.$

Теперь приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях $ u$ : при $ u^3$ получаем:

 

$\displaystyle 0=B+D,$

а при $ u^2$  --

 

$\displaystyle 0=A-2B+C-D,$

или

$\displaystyle 2B+D=3.$

Решая получившуюся систему уравнений

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}
B+D=0;\\
2B+D=3,
\end{array}
\right.
$

находим $ B=3$ , $ D=-3$ . Значит, искомое разложение имеет вид

$\displaystyle \frac{u+1}{u^2(u-1)^2}=
\frac{1}{u^2}+\frac{3}{u}+\frac{2}{(u-1)^2}-\frac{3}{u-1},$

и

$\displaystyle \int\frac{e^x+1}{e^{3x}-2e^{2x}+e^x}dx=
 \int\frac{u+1}{u^2(u-1)^...
...nt\frac{du}{u^2}+3\int\frac{du}{u}+2\int\frac{du}{(u-1)^2}-3\int\frac{du}{u-1}=$   
$\displaystyle =-\frac{1}{u}+3\ln\vert u\vert-\frac{2}{u-1}-3\ln\vert u-1\vert+C=
 -\frac{1}{e^x}+3\ln e^x-\frac{2}{e^x-1}-3\ln\vert e^x-1\vert+C=$   
$\displaystyle =-e^{-x}+3x-\frac{2}{e^x-1}-3\ln\vert e^x-1\vert+C.$   

. Пусть функция f(x) определена на отрезке [a,b] и монотонна на этом отрезке. Тогда f(x) может иметь на этом отрезке только точки разрыва первого рода.

 Док-во. Рассмотрим для определённости случай монотонно возрастающей функции. Пусть х0Î[a,b] и не является левым концом этого отрезка. Рассмотрим полуинтервал [a, х0). В разделе 4.3.2. Свойства сходящейся последовательности мы доказали, что монотонно возрастающая ограниченная сверху последовательность имеет предел. Совершенно также можно доказать, что функция, монотонно возрастающая на полуинтервале [a, х0), множество значений которой ограничено на этом интервале, обязана иметь . Действительно, так как множество  ограничено сверху (одна из верхних границ - значение f(х0)), оно имеет верхнюю грань М*, обладающую тем свойством, что для "e>0 $ х1Î[a, х0), в котором f(х1)> М* - e. По монотонности функции и по определению верхней грани для "х: х1>х> х0 справедливо неравенство М* - e< f(х1)< f(х)£ М*, что означает выполнение условий существования  с d= х0- х1. При этом возможны два варианта: либо f(х0)=М*, тогда f(х) непрерывна слева в точке х0; либо f(х0)>М*, тогда f(х) имеет в точке х0 скачок, т.е. разрыв первого рода.


Рациональные функции и их интегрирование