Выразим через функцию Лапласа Исследуем сходимость несобственного интеграла Вычислим значение интеграла Несобственные интегралы второго рода Формула интегрирования по частям Производная сложной функции

[an error occurred while processing this directive]

Производная сложной функции

Пусть координаты $ x_1,x_2,x_3$ зависят от $ u_1,u_2$ следующим образом: $\displaystyle x_1=\sin^2u_1; x_2=\sin u_1\cos u_2; x_3=\cos^2u_2.$

 

Рассмотрим функцию

 

$\displaystyle y=f(x_1;x_2;x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2$

и найдём производные величины $ y$ по переменным $ u_1$ и $ u_2$ , то есть производные композиции $ f(x(u))$ .

Поскольку

 

$\displaystyle \displaystyle{\frac{\partial y}{\partial x_1}}=2x_1;
\displaysty...
...al y}{\partial x_2}}=2x_2;
\displaystyle{\frac{\partial y}{\partial x_3}}=2x_3$

и

$\displaystyle \displaystyle{\frac{\partial x_1}{\partial u_1}}=2\sin u_1\cos u_...
...al u_1}}=\cos u_1\cos u_2;
 \displaystyle{\frac{\partial x_3}{\partial u_1}}=0;$    
$\displaystyle \displaystyle{\frac{\partial x_1}{\partial u_2}}=0;
 \displaystyl...
... \displaystyle{\frac{\partial x_3}{\partial u_2}}=-2\cos u_2\sin u_2=-\sin2u_2,$    

то по формуле (7.7) получаем:

$\displaystyle \frac{\partial y}{\partial u_1}=
 \frac{\partial y}{\partial x_1}...
...artial u_1}+
 \frac{\partial y}{\partial x_3}\frac{\partial x_3}{\partial u_1}=$    
$\displaystyle =2\sin^2u_1\cdot2\sin u_1\cos u_1+2\sin u_1\cos u_2\cdot\cos u_1\cos u_2+
 2\cos^2u_2\cdot0=$    
$\displaystyle =2\sin^3u_1\cos u_1+2\sin u_1\cos u_1\cos^2u_2;$    

и

$\displaystyle \frac{\partial y}{\partial u_2}=
 \frac{\partial y}{\partial x_1}...
...artial u_2}+
 \frac{\partial y}{\partial x_3}\frac{\partial x_3}{\partial u_2}=$    
$\displaystyle =2\sin^2u_1\cdot0+2\sin u_1\cos u_2\cdot(-\sin u_1\sin u_2)+
 2\cos^2u_2\cdot(-2\cos u_2\sin u_2)=$    
$\displaystyle =-2\sin^2u_1\sin u_2\cos u_2-2\cos^3u_2\sin u_2.$    

тличие от частных производных от $ y$ по промежуточным переменным $ x_1,\ x_2,\ \dots,\ x_n$

. Пусть функция f(x) определена на отрезке [a,b] и монотонна на этом отрезке. Тогда f(x) может иметь на этом отрезке только точки разрыва первого рода.

 Док-во. Рассмотрим для определённости случай монотонно возрастающей функции. Пусть х0Î[a,b] и не является левым концом этого отрезка. Рассмотрим полуинтервал [a, х0). В разделе 4.3.2. Свойства сходящейся последовательности мы доказали, что монотонно возрастающая ограниченная сверху последовательность имеет предел. Совершенно также можно доказать, что функция, монотонно возрастающая на полуинтервале [a, х0), множество значений которой ограничено на этом интервале, обязана иметь . Действительно, так как множество  ограничено сверху (одна из верхних границ - значение f(х0)), оно имеет верхнюю грань М*, обладающую тем свойством, что для "e>0 $ х1Î[a, х0), в котором f(х1)> М* - e. По монотонности функции и по определению верхней грани для "х: х1>х> х0 справедливо неравенство М* - e< f(х1)< f(х)£ М*, что означает выполнение условий существования  с d= х0- х1. При этом возможны два варианта: либо f(х0)=М*, тогда f(х) непрерывна слева в точке х0; либо f(х0)>М*, тогда f(х) имеет в точке х0 скачок, т.е. разрыв первого рода.


Рациональные функции и их интегрирование