Нахождение дифференциала функции

Электротехника
Расчет цепей постоянного тока
Расчет цепей переменного тока
Расчет трехфазных цепей
Примеры  решения типовых задач
Лабораторные работы
Методические указания к решению задачи
Расчет сглаживающего фильтра
Трехфазные цепи
Цепи несиносоидального тока
Математика
Интегрирование тригонометрических функций
Вычисление интегралов от рациональных функций
Интегрирование рациональных функций
Повторные интегралы
Криволинейные интегралы первого рода
Криволинейные интегралы второго рода
Теорема Остроградского-Гаусса
Независимость криволинейных интегралов от пути интегрирования
Физические приложения двойных интегралов
Физические приложения криволинейных интегралов
Физические приложения поверхностных интегралов
Физические приложения тройных интегралов
Теорема Стокса
Поверхностные интегралы первого рода
Поверхностные интегралы второго рода
Тройные интегралы в декартовых координатах
Тройные интегралы в цилиндрических координатах
Тройные интегралы в сферических координатах
Производная показательной и логарифмической функции
Производная степенной функции
Производная произведения и частного функций
Дифференцирование и интегрирование степенных рядов
Найти производную функции
Примеры вычисления производной
Производная обратной функции
Логарифмическое дифференцирование
Исследование функций с помощью производных
Физика
Электродинамика
Электростатика
Электрический ток
Термодинамика
Решение задач
Основные операции над векторами
Кинематика твердого тела
Силы Виды взаимодействий
Закон сохранения импульса
Гравитация Законы Кеплера
Неинерциальные системы отсчета
Механические колебания
Физический маятник
Математический маятник
Резонанс
Специальная теория относительности

Преобразования Лоренца

Математическая физика
Химия
Примеры решения задач
контрольной работы
Современная теория строения
атомов и молекул
Контрольные задания
КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ
Химическая кинетика
Электролиз
Начертательная геометрия
Сечение геометрического тела
Аксонометрические проекции
Сборочный чертеж
Построение тел вращения
Развертка прямой призмы
Машиностроительное черчение
Профиль  резьбы
Работа «Соединение болтом»
Работа «Соединение шпилькой»
Сварные соединения
Разновидность  крепежных изделий
Выполнить эскизы с натуры
Шероховатостью поверхности
Выполнениечертежа сборочной единицы
Деталирование чертежа общего вида
Построение смешанного сопряжения.
Направления штриховки в разрезах
Сопромат
Деформации и перемещения при кручении валов
Расчет статически неопределимых балок
Действие с силами и моментами
Расчеты на прочность по допускаемым напряжениям
Расчет цилиндрических витых пружин

Примеры решения задач на прочность

Ядерная энергетика
Реакторы атомных станций
Ядерное топливо и ядерные отходы
Ядерно-энергетические транспортные установки
Блочный щит управления энергоблока
Реакторы на быстрых нейтронах
АЭС с реакторами ВВЭР нового поколения
РБМК - Реактор Большой Мощности Канальный
ВВЭР и РБМК: сравнительные характеристики
Энергосберегающие технологии
Альтернативная энергетика
Информатика
Тонкая клиентная сеть
Создание корпоративной Webсети
Восстановление ЛВС после аварий
Беспроводные сети
Серверы масштаба предприятия и суперсерверы
Протоколы сетевого управления
Прокси-серверы
Оценка эффективности локальной сети
Производительность рабочих станций и серверов ЛВС
Кабельные системы для локальных сетей
История искусства
Архитектура
Интерьеры античности и возраждения в Италии
Вид на Акрополь
План терм Константина; разрез и фасады
План  и разрез Сакристии Сан Лоренцо
Интерьеры XIV—XV веков и эпохи классицизма в России
Интерьеры Успенского собора
Усадьба «Высокие горы»
 
Цифровая фотография

Функции нескольких переменных и их дифференцирование

   Найдём производные по $ x$ и $ y$ функции $ z={\varphi}(x;y)$ , неявно заданной в окрестности точки $ (2;-1;2)$ уравнением $\displaystyle x^2y+y^4z^2+xz^3=16.$

Пределы функций нескольких переменных

Пусть $ {\delta}>0$ . Назовём $ {\delta}$ -окрестностью точки $ x^0\in\mathbb{R}^n$ открытый шар $ B^{x^0}_{{\delta}}$ радиуса $ {\delta}$ с центром в точке $ x^0$ .

Пределы функций нескольких переменных  Множества $\displaystyle O_r=\{x\in\mathbb{R}^n:\vert x\vert\geqslant r\}=\complement B_r^0,$

Найдём частные производные функции $ f(x;y)=\frac{\textstyle{x^2+3y^2}}{\textstyle{xy}}$ по переменным $ x$ и $ y$ .

Найдём дифференциал функции трёх переменных $\displaystyle f(x_1;x_2;x_3)=x_1^3x_2^2x_3.$

Найдём дифференциал функции $\displaystyle f(x;y)=3x^2y+x^3y^2.$

 Найдём дифференциал функции $\displaystyle f(x;y)=\sin(x^2y^3z^4).$

Приближённые вычисления с помощью дифференциала

Пусть требуется приближённо вычислить значение $\displaystyle \sqrt{0{,}98^2+2{,}03^2+1{,}96^2}.$

Производные неявно заданной функции

 Пусть функция $ z={\varphi}(x;y)$ задана неявно уравнением $\displaystyle x^3yz+xy^2z^3-2x^2y^2z^4+2=0$

Вычислим интеграл $\displaystyle \int_0^1\frac{dx}{x^2+4x+5}.$

Найдём стационарные точки функции $\displaystyle f(x;y)=x^2+xy+y^2-4x-2y,$

Свойства градиента и производной по направлению

Пусть в $ \mathbb{R}^2$ задана функция $\displaystyle f(x_1;x_2)=x^2_1+\frac{x_2^2}{4}.$

Поверхностями уровня линейной функции $\displaystyle f(x_1;x_2;x_3)=2x_1+3x_2-5x_3$

 Биномом Ньютона называют разложение выражения   по степеням a и b (n - натуральное число).

 Количество слагаемых в многочлене   до приведения подобных членов при увеличении показателя степени на единицу увеличивается в два раза (поэтому общее количество слагаемых до приведения подобных членов будет равно 2n + 1). Когда приводятся подобные члены в многочлене , то определяются по сути количества одинаковых слагаемых, то есть числа сочетаний из n элементов по m (ясно, что ).

 До сложения показателей слагаемые в разложении бинома  имеют вид: ; каждое слагаемое содержит n множителей. Количество слагаемых, которые содержат множитель  m раз совпадает с количеством сочетаний по  m из n элементов; такие слагаемые будут иметь вид ; общее число таких слагаемых равно , что приводит к так называемой формуле бинома Ньютона:

¯

  Для наглядного представления значений биномиальных коэффициентов применяют таблицу, называемую треугольником Паскаля:

  Каждый внутренний элемент этой таблицы получается как сумма элементов, стоящих левее и правее строкой выше.

Рассмотрим некоторые свойства биномиальных коэффициентов, которые хорошо просматриваются в треугольнике Паскаля:

  а). Свойство, используемое при построении треугольника Паскаля:

 .

 б). Число элементов в строке (в разложении бинома степени n) на единицу больше показателя степени бинома.

 в). Сумма биномиальных коэффициентов в любой строке равна 2n, то есть

 .

 г). , так как  .

Это свойство означает, что таблица Паскаля симметрична относительно своей центральной линии, или, другими словами, равноотстоящие от краев элементы строки одинаковы: нулевой элемент равен последнему ; первый элемент равен предпоследнему   и т.д.

 д). Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетныx местах.

 е).Каждый элемент строки равен предшествующему, умноженному на коэффициент, равный , то есть . В самом деле,  .

3. Действительные числа.

3.1. Аксиомы действительных чисел.

 Множество R={x,y,z,…} действительных чисел - множество мощности континуум, на котором определены две операции (сложение и умножение) и отношение упорядоченности (), удовлетворяющие аксиомам

 I.1. x+y=y+x;

 I.2. (x+y)+z=x+(y+z);

I.3. Существует такой элемент 0ÎR, что 0+х=х для "хÎR;

I.4. Для каждого элемента хÎR существует такой элемент - х, что х+(- х)=0;

II.1. xy=yx;

II.2. (xy)z=x(yz);

II.3. Существует такой элемент 1ÎR, что 1х=х для "хÎR;

II.4. Для каждого элемента х¹0, х ÎR существует такой элемент х-1ÎR, что х х-1=1;

III.1. x(y+z)=xy+xz;

IV.1. Отношение {()L( y £ x)} эквивалентно отношению х=у;

IV.2. Для любых двух элементов хÎR, уÎR или х£у, или у£х;

IV.3. Из  и y£z следует х£z;

IV.4. Из х£у следует х+ z £у+ z для любых х,у, z ÎR;

IV.5. Из 0£ х и 0£ у следует 0£ ху.

Отношение  записывается также в форме у³х. Отношение {()L( x¹y)} записывается в форме х<у.

  V. Аксиома непрерывности: для любых элементов хÎR, уÎR таких, что х < у, существует элемент z ÎR, такой что х< z < у.

 VI. Аксиома Архимеда: для любых элементов хÎR, уÎR таких, что 0<х, 0<у, существует такое натуральное число n, что у£ nх;

 VII. Аксиома о вложенных отрезках: если {[an, bn]} - счётная последовательность отрезков, таких что an£ an+1 и bn+1£ bn при "n, то пересечение этой последовательности непусто, т.е. $ хÎR: хÎ[an, bn] для "n.

 

 

Основы физики и электротехники. Лекции, курсовые, задачи, учебники