Архитектура Интерьеры античности и возраждения в Италии Вид на Акрополь План терм Константина План  и разрез Сакристии Сан Лоренцо Интерьеры XIV—XV веков Интерьеры Успенского собора Усадьба «Высокие горы»


Геометрический смысл дифференциала

Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке x0 и принимает в этой точке значение y0= f(x0). Рассмотрим график этой функции (см. рис.3). Проведём в точке М(x0; y0) графика касательную MT. Угловой коэффициент этой касательной, tg α, равен производной (x0). Дадим аргументу x0 приращение ∆ x. Тогда ордината графика функции получит приращение ∆ y, а ордината касательной – приращение  ∆ yк. Из треугольника MAB видно, что ∆ yк = ∆ x tg α. Но  tg α = (x0). Поэтому ∆ yк = (x0) ∆ x = (x0) dx.

Но последнее выражение, (x0) dx, есть дифференциал dy функции y=f(x):

  dy =(x0)dx. Следовательно ∆ yк = dy. Итак, дифференциал функции y=f(x) в некоторой точке x есть приращение ординаты касательной к графику функции в этой точке, соответствующее приращению аргумента ∆ x.

Производные простейших элементарных функций.

Степенная функция y=xα. Область определения x зависит от значения показателя  α.

В случае целочисленного показателя, а также в том случае, когда ,  где m – целое нечётное число, .  Если же , то  (если при этом α > 0, то допускается  x=0).

Производная этой функции ( xα=. В частности, .

Показательная функция y = ax, a > 0, a ≠ 1.

Производная этой функции ( ax= ax ln a, в частности, ( ex= ex.

Логарифмическая функция y = logax,  a > 0, a ≠ 1.

Производная этой функции (logax, в частности, ( ln x=.

Тригонометрические функции y = sin x, y = cos x, y = tg x ( x ≠ k π+ ), y = ctg x

 ( x ≠ k π ).

Производные этих функций:

  ( sin x= ,  ( cos x= , ( tg x=, ( ctg x=.

Обратные тригонометрические функции y = arcsin x (),

 y = arccos x(), y = arctg x, y = arcctg x.

Производные этих функций:

( arcsin x

( arcos x,

( arctg x,  ( arcctg x

В математике и приложениях встречаются гиперболические функции:

гиперболический синус – sh x =,

гиперболический косинус – ch x =

гиперболический тангенс – th x =,

гиперболический котангенс – cth x =.

Производные этих функций:

( sh x= ch x, ( ch x= sh x, ( th x=, ( cth x= ( x ≠ 0 ).

Формула (1) с параметрами a0, a1 определенными из системы (4), называется уравнением регрессии. Прямая линия, описываемая этим уравнением, называется линией регрессии. Для временных рядов обычно вместо слова “регрессия” употребляется слово тренд.

Если экспериментальные точки в плоскости  группируются вдоль некоторой кривой линии, то можно подобрать вместо формулы (1) другую подходящую формулу, например, y = a0 + a1x + a2x2 или y = a0 exp(a1x) с параметрами соответственно a0, a1, a2 и a0, a1, подставить ее в выражение   и искать минимум получившейся функции S2 при помощи частных производных по параметрам.

Упражнения

1. Найти частные производные первого порядка от следующих функций:

1)

;

2)

;

3)

;

4)

;

5)

;

6)

;


Основы физики и электротехники. Лекции, курсовые, задачи, учебники