Диполь Мультипольное разложение. Диполь во внешнем электрическом поле начало

 

Мультипольное разложение

Рис. 3.3

Пусть вблизи начала координат находится некоторое количество точечных зарядов. Определим потенциал поля, создаваемого этими зарядами в точке P, расположенной на большом удалении (по сравнению с расстояниями между зарядами) от начала координат.

В силу принципа суперпозиции потенциал всей совокупности зарядов равен сумме потенциалов, создаваемых в данной точке поля каждым из зарядов в отдельности:

(3.7)

Для определения расстояния от i-того заряда до точки P воспользуемся теоремой косинусов (см. рис. 3.3):

Учитывая, что ri/ro << 1, выражение в скобках можно представить как (1+Dx), где Dx - малая величина, по степеням которой можно сделать разложение в ряд. Ограничиваясь линейными по ri/ro членами, получим следующее выражение:

Тогда для потенциала (3.7) будем иметь

Величинаназывается электрическим дипольным моментом системы зарядов.

Окончательно для потенциала системы зарядов, расположенной вблизи начала координат, в удаленной от нее точке, характеризуемой радиус-вектором r, имеем

(3.8)

Как следует из полученного выражения, при не равном нулю суммарном заряде потенциал определяется в основном первым членом, стоящим в скобках в (3.8), потому что он ~1/r, тогда как второй член ~1/r2. Однако во многих важных случаях суммарный заряд системы равен нулю, как это имеет место, например, для молекулы. Расположение же зарядов может быть таково, что дипольный момент системы отличен от нуля. Тогда потенциал определяется вторым членом. Заметим, что и при равном нулю дипольном моменте потенциал системы, вообще говоря, не равен нулю, а определяется членами высших порядков в разложении по степеням ri/ro. Напомним, что речь все время идет о потенциале в точках, расположенных на большом удалении от системы.

Для диполя из (3.8) легко получается выведенное ранее выражение (3.2).

Основы физики и электротехники. Лекции, курсовые, задачи, учебники