Физика лекции и примеры решения задачначало

Электротехника
Расчет цепей постоянного тока
Расчет цепей переменного тока
Расчет трехфазных цепей
Примеры  решения типовых задач
Лабораторные работы
Методические указания к решению задачи
Расчет сглаживающего фильтра
Трехфазные цепи
Цепи несиносоидального тока
Математика
Интегрирование тригонометрических функций
Вычисление интегралов от рациональных функций
Интегрирование рациональных функций
Повторные интегралы
Криволинейные интегралы первого рода
Криволинейные интегралы второго рода
Теорема Остроградского-Гаусса
Независимость криволинейных интегралов от пути интегрирования
Физические приложения двойных интегралов
Физические приложения криволинейных интегралов
Физические приложения поверхностных интегралов
Физические приложения тройных интегралов
Теорема Стокса
Поверхностные интегралы первого рода
Поверхностные интегралы второго рода
Тройные интегралы в декартовых координатах
Тройные интегралы в цилиндрических координатах
Тройные интегралы в сферических координатах
Производная показательной и логарифмической функции
Производная степенной функции
Производная произведения и частного функций
Дифференцирование и интегрирование степенных рядов
Найти производную функции
Примеры вычисления производной
Производная обратной функции
Логарифмическое дифференцирование
Исследование функций с помощью производных
Физика
Электродинамика
Электростатика
Электрический ток
Термодинамика
Решение задач
Основные операции над векторами
Кинематика твердого тела
Силы Виды взаимодействий
Закон сохранения импульса
Гравитация Законы Кеплера
Неинерциальные системы отсчета
Механические колебания
Физический маятник
Математический маятник
Резонанс
Специальная теория относительности

Преобразования Лоренца

Математическая физика
Химия
Примеры решения задач
контрольной работы
Современная теория строения
атомов и молекул
Контрольные задания
КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ
Химическая кинетика
Электролиз
Начертательная геометрия
Сечение геометрического тела
Аксонометрические проекции
Сборочный чертеж
Построение тел вращения
Развертка прямой призмы
Машиностроительное черчение
Профиль  резьбы
Работа «Соединение болтом»
Работа «Соединение шпилькой»
Сварные соединения
Разновидность  крепежных изделий
Выполнить эскизы с натуры
Шероховатостью поверхности
Выполнениечертежа сборочной единицы
Деталирование чертежа общего вида
Построение смешанного сопряжения.
Направления штриховки в разрезах
Сопромат
Деформации и перемещения при кручении валов
Расчет статически неопределимых балок
Действие с силами и моментами
Расчеты на прочность по допускаемым напряжениям
Расчет цилиндрических витых пружин

Примеры решения задач на прочность

Ядерная энергетика
Реакторы атомных станций
Ядерное топливо и ядерные отходы
Ядерно-энергетические транспортные установки
Блочный щит управления энергоблока
Реакторы на быстрых нейтронах
АЭС с реакторами ВВЭР нового поколения
РБМК - Реактор Большой Мощности Канальный
ВВЭР и РБМК: сравнительные характеристики
Энергосберегающие технологии
Альтернативная энергетика
Информатика
Тонкая клиентная сеть
Создание корпоративной Webсети
Восстановление ЛВС после аварий
Беспроводные сети
Серверы масштаба предприятия и суперсерверы
Протоколы сетевого управления
Прокси-серверы
Оценка эффективности локальной сети
Производительность рабочих станций и серверов ЛВС
Кабельные системы для локальных сетей
История искусства
Архитектура
Интерьеры античности и возраждения в Италии
Вид на Акрополь
План терм Константина; разрез и фасады
План  и разрез Сакристии Сан Лоренцо
Интерьеры XIV—XV веков и эпохи классицизма в России
Интерьеры Успенского собора
Усадьба «Высокие горы»
 
Цифровая фотография

Двойной электрический слой на поверхности проводника

Даже в отсутствие внешнего электрического поля, рассмотренного в предыдущем разделе, свободные электроны металлического проводника, имея определенную кинетическую энергию, стремятся вылететь с его поверхности. Далеко вылететь они не могут, так как притягиваются обратно силой электрического изображения. Таким образом, вне проводника на расстояниях порядка длины Томаса–Ферми (см. предыдущий раздел) имеется облако электронов, в то время как внутри проводника нехватка электронов порождает положительный электрический заряд. В итоге получаем двойной электрический слой на поверхности металлического проводника. Электрическое поле внутри такого слоя имеет масштаб атомного электрического поля (электрическое поле на орбите основного состояния атома водорода), т.е. оно гораздо больше какого-либо внешнего электрического поля.

Возникает задача об описании двойного электрического слоя, причем возмущение внешнего электрического поля, рассмотренное в предыдущем разделе, является ничтожно малой поправкой к распределению потенциала вблизи поверхности без какого-либо внешнего электрического поля.

В области вне проводника x > 0 (координата x нормальна к плоской поверхности проводника) уравнение Пуассона для потенциала j(x) имеет вид

,

где n(x) – концентрация электронов вне проводника на расстоянии x от его поверхности. В дальнейшем удобно использовать атомную систему единиц , где e, me – заряд и масса электрона соответственно. Как уже обсуждалось в предыдущем разделе, концентрация электрона связана с импульсом Ферми p(x) соотношением

В равновесии полная энергия электрона постоянна:

Нулевое значение константы следует из граничного условия на бесконечности, где нет электронов, а потенциал равен нулю.

Из трех полученных уравнений получаем замкнутое уравнение для электростатического потенциала

 (1)

При x < 0 имеется однородное распределение положительно заряженных ионов с концентрацией n. Уравнение для потенциала имеет вид

Граничные условия при  имеют вид

Здесь величина А называется работой выхода (она равна энергии Ферми), pF – импульс Ферми для электрона вдали от поверхности. Соответственно замкнутое уравнение для электростатического потенциала внутри поверхности приобретает вид

 (2)

Систему уравнений (1), (2) удобно обезразмерить, введя безразмерный потенциал и координату:

.

Тогда в новых переменных получим

 (3)

Умножая эти уравнения на и интегрируя с учетом указанных граничных условий, получим дифференциальные уравнения первого порядка:

 (4)

Константа интегрирования  соответствует граничным условиям на –¥, приведенным в уравнении (3). Приравнивая первое из уравнений (4) второму при u = 0, получим  Интегрируя первое из уравнений (4), получим распределение потенциала вне проводника

 (5)

Здесь b – константа интегрирования. Она находится из приведенного выше условия  Получаем b = 2(125/3)1/4. Тогда согласно (4) находим

Обратимся теперь к области u < 0. Интегрируя второе из уравнений (4), получим

 (6)

Интеграл может быть вычислен лишь численно. Впрочем, можно моделировать решение по граничным условиям при u = 0 и u = –¥ простой экспонентой

 (7)

Константа a находится из приведенного выше условия для  Она равна a = (243/125)1/4. Из рис. 1 видно, что выражения (6) и (7) практически совпадают.

На рис. 2 показан потенциал двойного электрического слоя в безразмерных координатах (u, F), основанный на решении (5) для u > 0 и решении (7) для u < 0. Концентрация электронов связана с потенциалом соотношением

Она ведет себя подобным образом, что и потенциал, показанный на рис. 2 (но более круто).

 

  F

 u 

 

Рис. 1. Функция  Ромбы соответствуют численному решению уравнения (6). Сплошная линия – аналитическая зависимость (7) 

 Степень применимости приближения Томаса–Ферми можно пояснить на примере одновалентного металла золота. Концентрация электронов в нем составляет n = 5.90 ∙ 1022 см–3. Для теоретического значения работы выхода   получим значение 5.5 эВ. Экспериментальное значение работы выхода для золота составляет 5.3 ± 0.1 эВ (оно зависит от ориентации грани кристалла).

 В заключение этого раздела можно провести некоторую аналогию между длиной Томаса–Ферми и радиусом Дебая. Первая величина является квантовой, а вторая – классической. Длину Томаса–Ферми можно получить из радиуса Дебая, если вместо электронной температуры подставить энергию Ферми. Эти величины определяют пространственное распределение поверхностного заряда не только в случае постоянного электрического поля, но и низкочастотного переменного электрического поля, имеющего компоненту, перпендикулярную поверхности проводника или плазменного образования. 

Рис. 2. Потенциал двойного электрического слоя в безразмерных координатах

(u, F

 

Основы физики и электротехники. Лекции, курсовые, задачи, учебники