ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ начало

ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА МИКРОЧАСТИЦ

Примеры решения задач

Пример 3. На грань кристалла никеля падает параллельный пучок электронов. Кристалл поворачивают так, что угол скольже­ния θ изменяется. Когда этот угол делается равным 64°, наблюдается максимальное отражение электронов, соответствующее дифракцион­ному максимуму первого порядка. Принимая расстояние d между атомными плоскостями кристалла равным 200 пм, определить длину волны де Бройля λ электронов и их скорость ν.

Решение. К расчету дифракции электронов от кристалли­ческой решетки применяется то же уравнение Вульфа — Брэгга, которое используется в случае рентгеновского излучения (см. § 31):

2d sin θ = kλ

где d расстояние между атомными плоскостями кристалла: θ — угол скольжения; kпорядковый номер дифракционного макси­мума; λ — длина волны де Бройля. Очевидно, что

λ = (2 d sin θ)/k.

Подставив в эту формулу значения величин и вычислив, получим

λ =360 пм.

Из формулы длины волны де Бройля λ = 2πħ/(mν) выразим ско­рость электрона:

ν = 2πħ/(mλ)

Подставив в эту формулу значения πħ, m (масса электрона), и произведя вычисления, найдем

v=2 Мм/с.

Сочетание корпускулярных и волновых свойств хорошо иллюстрирует пример описанного выше двухщелевого эксперимента (микрочастицы падают на экран с двумя щелями, за которым стоит фотопластинка, которая эти частицы поглощает). В соответствие с постулатами Борна каждое отдельное измерение (будем пускать частицы по одной ) даст локальную точку на втором экране-фотопластинке (корпускулярное свойство), но если провести достаточно много измерений, то в распределении вероятностей проявится дифракционно-интерференционная картина (волновые свойства), соответствующая прохождению волны через две щели. Здесь деБройлевская длина волны ответственна за дифракцию (она должна быть больше размеров щели) и за толщину полос. Из ее малости следует, с одной стороны, трудность получения столь узких щелей, поэтому реально волновые свойства обнаруживают, как правило, в других экспериментах, например, как дифракцию на кристалле. Т.е. у нас речь идет о мысленном эксперименте, выявляющем суть корпускулярно-волнового дуализма. С другой стороны, есть искушение задать вопрос: "Через какую щель пролетел данный электрон?", т.е. вопрос про траекторию электрона. Но в квантовой механике движение отдельного электрона описывается лишь вероятностно, и адекватной постановкой вопроса о траектории электрона будет вопрос о вероятности нахождения электрона в последовательные моменты времени t1, t2, t3, … в точках пространства x1, x2, x3, …. Однако в этой задаче может возникнуть ситуация, что соответствующие операторы (в нашем случае отвечающие за положение частицы) в разные моменты времени не коммутируют друг с другом, а тогда "стандартные алгоритмы квантовой теории непригодны для расчета" соответствующих многомоментных (в случае вопроса про щель двухмоментных) функций корреляции [Клышко 1998, с. 988] . Это одно из выражений утверждения об отсутствии траекторий у квантовой частицы. Другую сторону этого положения высвечивает рассуждение Н.Б. Делоне: "Длина волны де Бройля обратно пропорциональна скорости частицы, так что при большой скорости частицы… частица является практически точечной… Такая частица должна описываться законами классической физики.

Основы физики и электротехники. Лекции, курсовые, задачи, учебники