Типовой
Физика

Лекции

Контрольная

Курс

На главную

ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ начало

ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА МИКРОЧАСТИЦ

Примеры решения задач

Пример 3. На грань кристалла никеля падает параллельный пучок электронов. Кристалл поворачивают так, что угол скольже­ния θ изменяется. Когда этот угол делается равным 64°, наблюдается максимальное отражение электронов, соответствующее дифракцион­ному максимуму первого порядка. Принимая расстояние d между атомными плоскостями кристалла равным 200 пм, определить длину волны де Бройля λ электронов и их скорость ν.

Решение. К расчету дифракции электронов от кристалли­ческой решетки применяется то же уравнение Вульфа — Брэгга, которое используется в случае рентгеновского излучения (см. § 31):

2d sin θ = kλ

где d расстояние между атомными плоскостями кристалла: θ — угол скольжения; kпорядковый номер дифракционного макси­мума; λ — длина волны де Бройля. Очевидно, что

λ = (2 d sin θ)/k.

Подставив в эту формулу значения величин и вычислив, получим

λ =360 пм.

Из формулы длины волны де Бройля λ = 2πħ/(mν) выразим ско­рость электрона:

ν = 2πħ/(mλ)

Подставив в эту формулу значения πħ, m (масса электрона), и произведя вычисления, найдем

v=2 Мм/с.

Сочетание корпускулярных и волновых свойств хорошо иллюстрирует пример описанного выше двухщелевого эксперимента (микрочастицы падают на экран с двумя щелями, за которым стоит фотопластинка, которая эти частицы поглощает). В соответствие с постулатами Борна каждое отдельное измерение (будем пускать частицы по одной ) даст локальную точку на втором экране-фотопластинке (корпускулярное свойство), но если провести достаточно много измерений, то в распределении вероятностей проявится дифракционно-интерференционная картина (волновые свойства), соответствующая прохождению волны через две щели. Здесь деБройлевская длина волны ответственна за дифракцию (она должна быть больше размеров щели) и за толщину полос. Из ее малости следует, с одной стороны, трудность получения столь узких щелей, поэтому реально волновые свойства обнаруживают, как правило, в других экспериментах, например, как дифракцию на кристалле. Т.е. у нас речь идет о мысленном эксперименте, выявляющем суть корпускулярно-волнового дуализма. С другой стороны, есть искушение задать вопрос: "Через какую щель пролетел данный электрон?", т.е. вопрос про траекторию электрона. Но в квантовой механике движение отдельного электрона описывается лишь вероятностно, и адекватной постановкой вопроса о траектории электрона будет вопрос о вероятности нахождения электрона в последовательные моменты времени t1, t2, t3, … в точках пространства x1, x2, x3, …. Однако в этой задаче может возникнуть ситуация, что соответствующие операторы (в нашем случае отвечающие за положение частицы) в разные моменты времени не коммутируют друг с другом, а тогда "стандартные алгоритмы квантовой теории непригодны для расчета" соответствующих многомоментных (в случае вопроса про щель двухмоментных) функций корреляции [Клышко 1998, с. 988] . Это одно из выражений утверждения об отсутствии траекторий у квантовой частицы. Другую сторону этого положения высвечивает рассуждение Н.Б. Делоне: "Длина волны де Бройля обратно пропорциональна скорости частицы, так что при большой скорости частицы… частица является практически точечной… Такая частица должна описываться законами классической физики.

Справочник