ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ начало

ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА МИКРОЧАСТИЦ

Примеры решения задач

Пример 1. Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов U. Найти длину волны де Бройля l для двух случаев: 1) U1= = 51 кВ; 2) U2 = 510 кВ.

Решение. Длина волны де Бройля l частицы зависит от ее импульса р и определяется формулой

l = 2pħ/p  (1)

Импульс частицы можно определить, если известна ее кинетичес­кая энергия Т. Связь импульса с кинетической энергией для не­релятивистского (когда T<<E0) и для релятивистского (когда T » E0) случаев соответственно выражается формулами:

 (2)

 (3)

Формула (1) с учетом соотношений (2) и (3) запишется соответ­ственно в нерелятивистском и релятивистском случаях:

 (4)

 (5)

Сравним кинетические энергии электрона, прошедшего заданные в условии задачи разности потенциалов U1 = 51 В и U2 = 510 кВ, с энергией покоя электрона и в зависимости от этого решим вопрос, которую из формул (4) и (5) следует применить для вычисления длины волны де Бройля.

Как известно, кинетическая энергия электрона, прошедшего ус­коряющую разность потенциалов U,

  T = |e|U.

В первом случае T1 = |e|(U1 = 51 эВ = 0,51×10-4 МэВ, что много меньше энергии покоя электрона E0 = m0c2 = 0,51 МэВ. Следователь­но, можно применить формулу (4).

Для упрощения расчетов заметим, что T1 = 10-4 m0c2. Подставив это выражение в формулу (4), перепишем ее в виде

Учтя, что  есть комптоновская длина волны lC, получим

 .

Так как lC = 2,43×10-12 м, то 

Во втором случае кинетическая энергия Т2= ½е½ U2 = 510 кэВ = 0,51 МэВ, т. е. равна энергии покоя электрона. Следовательно, необходимо применить релятивистскую формулу (5).

Учтя, что Т2 =0,51 МэВ=mc2, по формуле (5) найдем

  

Подставив значение lс в последнюю формулу и произведя вы­числения, получим

l2=1,4 пм.

"Соотношение неопределенностей" Гейзенберга и "принцип дополнительности" Бора
Естественно, что свойства квантовой частицы существенно отличаются от свойств классической частицы. Наиболее яркое отличие, являющееся проявлением ее волновых свойств, является "соотношение неопределенностей" Гейзенберга, которое утверждает, что для двух "взаимодополнительных" величин (например, компонент положения x и импульса px) произведение их неопределенностей (квадратных корней дисперсий соответствующих функций распределения) отвечает условию x * px h/4 . "Взаимодополнительность" - новое для физики свойство, утверждающее, что измеримые величины, отвечающие затравочной классической модели системы, содержат пары взаимодополнительных величин. Математическим выражением этого свойства является некоммутативность математических образов (так называемых операторов) измеримых величин (т.е. ab ba), а физическим выражением свойства взаимодополнительности является само "соотношение неопределенностей", которое представляет собой не дополнительный постулат (принцип), а следствие постулатов Шредингера и Борна: оно теоретически выводится из них [Джеммер, с. 324-325]. Соответственно соотношение неопределенностей есть свойство не измерения, а состояния. Это главное содержание соотношения неопределенностей. Состояние, полностью описываемое волновой функцией, определяет распределение вероятностей для всех измеримых величин, включая взаимодополнительные. Измерения (по определению, по своему функциональному месту в (4.2.2)) проявляют состояние, а не изменяют его (это делают процедуры приготовления или происходит в ходе естественного процесса до измерения).

Основы физики и электротехники. Лекции, курсовые, задачи, учебники