ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ начало

ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ МИКРОЧАСТИЦ

Основные формулы

Одномерное временное уравнение Шредингера

где i мнимая единица (); mмасса частицы; ψ (х, t)— волновая функция, описывающая состояние частицы.

Волновая функция, описывающая одномерное движение свобод­ной частицы,

W(x,t) = Aexp(px – Et),

где А — амплитуда волны де Бройля; р — импульс частицы; Е — энергия частицы. 

Одномерное уравнение Шредингера для стационарных состояний

где Е — полная энергия частицы; U (x) - потенциальная энергия;

ψ (x) —  координатная (или амплитудная) часть волновой функции

Для случая трех измерений ψ(x, y, z,) уравнение Шредингера

 или в операторной форме

, где — оператор Лапласа

При решении уравнения Шредингера следует иметь в виду стан­дартные условия которым должна удовлетворять волновая функция: конечность (во всем пространстве), однозначность, непроч­ность самой ψ - функции и ее первой производной.

· Вероятность dW обнаружить частицу в интервале от х до x + dx (в одномерном случае) выражается формулой

dW = [ψ(x)] 2 dx

  где [y (x)]2— плотность вероятности.

Вероятность W обнаружить частицу в интервале от х1 до х2 находится интегрированием dW в указанных пределах 

W=[y(x)2­ dx

· Собственное значение энергии Еn частицы, находящейся на n-м энергетическом уровне в бесконечно глубоком одномерном прямоугольном потенициальеом ящике, определяется формулой

 (n = 1, 2, 3, …)

где l — ширина потенциального ящика.

Соответствующая этой энергии собственная волновая функция имеет вид

yn (x) = sin

· Коэффициент преломления п воли де Бройля на границе низкого потенциального барьера бесконечной ширины * (рис. 46.1)

 где l1 и l2— длины волн де Бройля в областях I и II (частица дви­жется из области I во II); k1k2 — соответствующие значения волновых чисел.

·         Коэффициенты отражения r и пропускания t волн де Бройля через низкий (U < E) потенциальный барь­ер бесконечной ширины

Подпись: Низкий барьер
Рис. 46.1
r =  

где k1 и k2 — волновые числа волн де Бройля в областях I и II.

·                  Коэффициент прозрачности D прямоугольного потенциаль­ного барьера конечной ширины

, где U высота потенциального барьера; Е — энергия частицы; dширина барьера.

Задача 8. На одномерный гармонический осциллятор накладывают малое возмущение . Увеличится или уменьшится при этом энергия основного состояния осциллятора?

А. увеличится б. уменьшится в. не измениться г. в это зависит от  и

Задача 9. На атом водорода накладывают малое возмущение . Какие значения проекции орбитального момента импульса электрона на ось  можно обнаружить в возмущенном основном состоянии атома? Ответ дать в первом порядке теории возмущений для волновой функции.

А.  б.   в.  г.  

Задача 10. Некоторая квантовая система имеет вырожденный уровень, которому отвечают собственные функции , , …, . На систему накладывают возмущение, недиагональные матричные элементы которого с функциями  равны нулю, диагональные – все различны. Какие утверждения относительно свойств правильных функций нулевого приближения будут верными?

а. каждая из них будет совпадать с одной из функций  б. ими будут любые линейные комбинации функций  в. ни одна из правильных функций не будет совпадать ни с одной из функций  г. только определенные комбинации функций  (с ненулевыми коэффициентами) будут правильными функциями


Варианты тестовых контрольных работ

Вариант 4 (по теме «Теория возмущений при отсутствии вырождения»)

1. Теория возмущений позволяет вычислить:

а. оператор возмущения, если известно классическое выражение для возмущающего систему потенциала б. поправки к энергиям стационарных состояний непрерывного спектра

в. поправки к энергиям стационарных состояний дискретного спектра г. поправки к волновым функциям стационарных состояний дискретного спектра

2. Какая из двух формул  или  для поправки к энергии -го стационарного состояния правильна?

А. первая б. вторая в. обе, поскольку приводят к одинаковому результату

г. зависит от невозмущенной системы

3. На некоторую квантовую систему накладывают малое возмущение , причем известно, что диагональный матричный элемент оператора возмущения с невозмущенными функциями основного состояния равен нулю. Увеличится или уменьшится при этом энергия основного состояния системы?

А. увеличится б. уменьшится в. не изменится г. мало информации для ответа

 

Основы физики и электротехники. Лекции, курсовые, задачи, учебники