Сопромат
Электротехника
Курсовая
Типовой
Фото
Энергетика
Геометрия
Физика

Лекции

Математика
Искусство
Контрольная

Курс

Примеры
Архитектура
На главную

Ядерная физика начало

§3.2. Основные законы радиоактивного распада

Радиоактивный распад – явление принципиально статистическое. Нельзя предсказать, когда именно распадется данное ядро, а можно лишь указать с какой вероятностью оно распадется за тот или иной промежуток времени. Распад отдельного радиоактивного ядра не зависит от присутствия других ядер и может произойти в любой интервал времени. Наблюдения за очень большим числом одинаковых радиоактивных превращений ядер позволяет установить вполне определенные количественные закономерности для характеристики процесса радиоакивного распада.

Естественная статистическая величина, характеризующая радиоактивный распад, – постоянная (или константа) распада λ – определяет вероятность распада ядра в единицу времени и имеет размерность [время]‑1. Экспериментальные и теоретические исследования позволяют заключить, что постоянная распада λ не зависит, по-видимому, от времени, прошедшего с момента образования ядра, что отражено в названии.

Пусть ядро достоверно существует в некоторый момент времени t = 0, условно принимаемый за ноль. У этого ядра к произвольно выбранному моменту времени t может реализоваться одна из двух возможностей:

1)            ядро испытало радиоактивный распад и вероятность такого события равна ;

2)            ядро не испытало радиоактивного распада и вероятность такого события равна . Основные понятия и классификация Ядерной реакцией называют процесс образования новых ядер и частиц при сближении ядер и частиц до расстояний ~ 10-13см, когда вступают в действие ядерные силы. Образование новых ядер и частиц может происходить и под действием γ-квантов, т.е. под действием электромагнитных, а не ядерных сил. Этот процесс следует также отнести к ядерным реакциям, поскольку взаимодействие происходит в области ядра и приводит к его преобразованию. Если после столкновения сохраняются исходные ядра и частицы и не рождаются новые, то процесс называется рассеянием. При рассеянии происходит только перераспределение энергии и импульса между взаимодействующими объектами.

Очевидно, что

(3.2.1)

Установим, чему равна вероятность  испытать ядру радиоактивный распад за время dt. Прежде, чем ядро испытает распад за интервал времени между , необходимо, чтобы ядро не распалось к моменту времени t. Вероятность dp(t) такого сложного события будет равна

(3.2.2)

где λdt - вероятность распада ядра за время dt. Используя (3.2.1) уравнение (3.2.2) приведем к виду

.

(3.2.3)

Поскольку ядро достоверно существует в момент времени , то имеем очевидное начальное условие . Тогда искомая вероятность составит

(3.2.4)

При помощи (3.2.1) и (3.2.4) найдем для ядра вероятность q(t)не испытать распада к моменту времени t:

(3.2.5)

Соотношения (3.2.4) и (3.2.5) содержат полное описание статистических свойств радиоактивного распада ядер и позволяют определить любые статистические характеристики распада.

Найдем среднее времяжизни ядра, используя определение для математического среднего:

(3.2.6)

поскольку  – вероятность того, что ядро, прожив время t, распадется за время между .

Пусть в момент времени t = 0 имелось N0 радиоактивных ядер одной природы. Наиболее вероятное (ожидаемое) число ядер N(t), которые не испытают радиоактивного распада к моменту времени t, должно составить

,

(3.2.7)

а соответственно число распавшихся ядер (ddecay – распад)

(3.2.8)

Формула (3.2.7) выражает основной закон радиоактивного распада. Следует еще раз подчеркнуть, что  имеют смысл наиболее вероятного количества оставшихся и распавшихся радиоактивных ядер к моменту времени t. Реальные же количества радиоактивных ядер к моменту времени tмогут быть как больше, так и меньше. Используемая далее в выражениях величина N, если не оговорено иное, всегда имеет смысл среднего числа ядер.

В ядерной физике и ее приложениях используется еще одна временная характеристика распада – период полураспадаТ1/2, которая определяет время, за которое первоначальное количество ядер N0должно уменьшиться в два раза. Установим связь между периодом полураспада Т1/2 и постоянной распада λ. По определению

(3.2.9)

откуда

(3.2.10)

Сравнивая это выражение с (3.2.6) устанавливаем, что

(3.2.11)

Для характеристики радиоактивных свойств вещества, т.е. совокупности большого числа радиоактивных ядер, служит специальная величина, характеризующая скорость радиоактивных превращений, которая называется активностью. Активность А (не путать с массовым числом А!) – среднее число ядер в образце, испытавших радиоактивный распад за единицу времени. Для радиоактивных ядер одной природы получим, используя (3.2.8):

(3.2.11)

Полученное выражение можно записать в следующем виде (учитывая (3.2.7)):

(3.2.12)

или же в виде

(3.2.13)

где - начальная активность образца.

Единицей измерения активности в СИ служит беккерель (Бк),

1 Бк = 1 распад/с.

 

Часто в практических приложениях используется другая единица измерения активности - кюри (Ки):

1 Ки = 3,7·1010Бк.

 

Активность, отнесенная к массе радиоактивного препарата, называется массовой удельной активностью. Для жидких и газообразных веществ иногда используют объемную удельную активность.

Для определения l (а, следовательно, t и Т1/2) можно использовать формулу (3.2.12), если в некоторый произвольный момент времени измерить активность препарата и число радиоактивных ядер. Этим методом удобно пользоваться, когда период полураспада достаточно велик, и поэтому изменением числа радиоактивных ядер за время измерения активности можно пренебречь. Если период полураспада Т1/2 не очень велик, то можно непосредственно снять кривую изменения активности через определенные интервалы времени. Затем по полученным значениям строят график зависимости натурального логарифма активности от времени. Постоянную распада l удобно находить, если записать (3.2.13) в виде:

(3.2.14)

Зависимость (3.2.14)представляет собой прямую, а l определяется по тангенсу угла наклона этой прямой (рис. 3.2.1) или непосредственно по уменьшению активности вдвое. В реальных условиях экспериментальные точки имеют неизбежный разброс, определяемый статистической природой радиоактивного распада. Для проведения через такие точки наиболее достоверной прямой обычно используют метод наименьших квадратов, в результате чего среднеквадратичное отклонение точек от найденной прямой будет минимальным.

Весьма распространенными являются случаи распада радиоактивных ядер с образованием не только стабильных, но и радиоактивных дочерних ядер. В последнем случае возникают цепочки распадов. Примером таких цепочек могут служить рассмотренные выше радиоактивные семейства. Баланс числа радиоактивных ядер при этом определяется следующими уравнениями:

(3.2.15)

.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .

где индекс 1 относится к первичным материнским ядрам, а индексы 2, 3, . . . – к дочерним. Распад ядер N1 описывается обычным законом распада (3.2.7). Баланс ядер каждого дочернего вещества определяется скоростью собственного распада (активностью) и скоростью рождения, равной скорости распада ядер-предшественников. Решение каждого уравнения (3.2.15) зависит только от вида решения предшествующего. В простейшем случае, когда в начальный момент времени дочерних ядер нет, а количество материнских ядер равно N10, решение каждого k-го уравнения из (3.2.15) имеет вид:

(3.2.16)

Полное число радиоактивных ядер есть сумма всех количеств Nk, существующих в данный момент времени.

Из общего решения (3.2.16) получаем решение для N2(t):

(3.2.17)

Из (3.2.17) следует, что количество ядер N2 достигает своей максимальной величины

.

(3.2.18)

в момент времени

,

(3.2.19)

а затем монотонно убывает. Если l1 << l2 (или (Т1/2 )1 >> (Т1/2 )2) и t » (Т1/2 )2, то из (3.2.17) в пределе t→ ∞ получаем

,

(3.2.19)

т.е. устанавливается динамическое равновесие между активностью материнского и дочернего препаратов, которое называется вековым равновесием. Вековое равновесие широко используется для определения периодов полураспада долгоживущих материнских нуклидов по известным значениям l2 и N2/ N1. Очевидно, что при выполнении соответствующих условий вековое равновесие может наступать для любой пары соседних элементов в цепочке распадов.

Другой предельный случай l1 >> l2 (или (Т1/2 )1 << (Т1/2 )2) при t » (Т1/2 )1 дает зависимость

,

(3.2.20)

которая фактически является кривой распада дочернего вещества.

 

№ 2.8.

Мощность экспозиционной дозы на расстоянии r = 10 см от источника составляет 85 мР/ч. На каком расстоянии от источника можно находиться без защиты, если допустимая мощность дозы равна 0,017 мР/ч?

Решение

Связь между активностью радиоактивного препарата А и мощностью экспозиционной дозы  определяется выражением

, (1)

где k – постоянная, характерная для данного радионуклида, r – расстояние от источника ионизирующего излучения.

Записывая выражение (1) для двух расстояний, получим

; (2)

. (3)

Разделив выражение (2) на (3), получим:

. (4)

Проведя сокращения и подставляя численные значения, из (4) получим r2 = 7 м.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

За какое время распадается 1/4 начального количества ядер радиоактивного изотопа, если период его полураспада Т1/2 = 24 часа?

 Период полураспада радиоактивного нуклида Т1/2 = 1 ч. Определить среднюю продолжительность жизни этого нуклида.

Мощность экспозиционной дозы, создаваемая удаленным источником гамма-излучения с энергией фотонов 2 МэВ, равна 0,86 мкА/кг. Определить толщину свинцового экрана, снижающего мощность экспозиционной дозы до уровня предельно допустимой (0,86 нА/кг).

Мощность экспозиционной дозы гамма-излучения на расстоянии 40 см от точечного источника равна 4,3 мкА/кг. Определить время, в течение которого можно находиться на расстоянии 6 м от источника, если предельно допустимую экспозиционную дозу принять равной 5,16 мкКл/кг.

Человек получил всем телом 0,08 Дж/кг гамма-излучения, тогда как другой, выпив радиоактивное вещество, получил дозу 700 мрад альфа-частиц. Который из них получит больше биологических повреждений?

В процессе проведения альфа-терапии пациенту ввели радиоактивный препарат с энергией излучения 1 МэВ и активностью 0,2 мкКи. Препарат был избирательно поглощен органом, масса которого составляет 1 кг. Какую дозу излучения получит этот орган за 1 месяц?

7. Мощность поглощенной дозы для человека массой m = 70 кг составила 0,6 рад/с в течение t = 6 ч. Рассчитать величину поглощенной энергии.

8. Какова масса тела человека, находящегося в зоне действия альфа-излучения, если в нем поглощается 1013 альфа-частиц с энергией около Е = 5 МэВ при поглощенной дозе D = 8 рад. Коэффициент качества k для альфа-частиц равен 20.

9. Определить уровень радиационного фона в зале управления АЭС, если поглощенная доза, полученная операторами станции в течение года, составила 0,4 Р.

10. Какова мощность экспозиционной дозы гамма-излучения на расстоянии 1 м от источника излучения, если оператор АЭС находится 4 ч в день на расстоянии 10 м от источника, получая ежедневно эквивалентную дозу облучения 0,4 бэр?

11. Какова мощность экспозиционной дозы  на расстоянии r1 = 50 см от источника, если на расстоянии r2 = 8 м от источника можно находиться без защиты при допустимой мощности дозы 0,017 мР/ч?

ЛИТЕРАТУРА

Ремизов А.Н., Максина А.Г., Потапенко А.Я Медицинская и биологическая физика: Учебник для вузов. – М.: Дрофа, 2008.- 558 с.: ил.

Ремизов А.Н., Максина А.Г. Сборник задач по медицинской и биологической физике: Учеб. пособие. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Дрофа, 2001.- 192 с.: ил.

Блохина М.Е., Эссаулова И. И.А., Мансурова Г.В. Руководство к лабораторным работам по медицинской и биологической физике: Учеб. пособие. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Дрофа, 2001.- 288 с.: ил.

Фарбер Ф.Е. Физика. - М.: Высшая школа, 1979, - 320 с.

Чертов А.Г., Воробьев А.А., Федоров М.Ф. Задачник по физике. Изд. 3-е, исправленное и дополненное, - М.: Высшая школа, 1988, - 528 с.

Иродов И.Е. Сборник задач по атомной и ядерной физике, - М.: Энергоатомиздат, 1984, -216 с.

 

§3.2. Основные законы радиоактивного распада

Справочник