Сопромат
Электротехника
Курсовая
Типовой
Фото
Энергетика
Геометрия
Физика

Лекции

Математика
Искусство
Контрольная

Курс

Примеры
Архитектура
На главную

Ядерная физика начало

§2.2. Капельная модель

В основу капельной модели (Вейцзеккер, 1935г., Бор, 1936г.) положено сходство в поведение атомного ядра и заряженной капли жидкости. Ядра имеет достаточно четко определенный радиус R ~ A1/3 (см. формулу (1.5.2)), из чего следует практически одинаковая (не зависящая отА) концентрацию нуклонов в ядрах:

1038см-3,

(2.2.1)

одинаковая плотность ядерного вещества

ρ = mN ·n = 1,66·10-24·1038 ≈ 1014г/см3 = 108т/см3,

(2.2.2)

и одинаковые средние расстояния между нуклонами:

см.

(2.2.3)

Эти цифры говорят о совершенно необычном, прямо-таки потрясающем, с точки зрения макроскопических тел, состоянии ядерного вещества (например, для обычных твердых тел n» 1022см-3 , ρ» 10 г/см3, δ » 5·10-8см).

То, что плотность ядерного вещества всех ядер постоянна, свидетельствует о его несжимаемости. Это свойство сближает ядерное вещество с жидкостью. Постоянство удельной энергии связи нуклонов в ядре углубляет аналогию. Основанием к такому предположению служит, прежде всего, тот факт, что химические силы, действующие между молекулами в жидкости, и ядерные силы, действующие между нуклонами в ядре, являются короткодействующими. Все это позволяет построить капельную модель атомного ядра, согласно которой ядро представляет сферическую каплю заряженной сверхплотной жидкости.

Основным результатом капельной модели является полуэмпирическая формула Вейцзеккера, в которую для получения лучшего согласия с наблюдаемыми величинами пришлось добавить члены, никоем образом не связанные с капельной моделью. Эта формула позволяет с хорошей точностью (< 1 %) вычислять энергию связи ядер по заданным значениямАи Z:

, (2.1.1)

где a1, … a5, и d - постоянные величины. Коэффициенты, a1, … , a5 подбираются таким образом, чтобы получить наилучшее согласие со значениями энергии связи для большинства всех известных ядер. Коэффициент а3 может быть вычислен теоретически (см. ниже). Приведемих величины:

a1= 15,75 МэВ; a2 = 17,8 МэВ; a3 = 0,71 МэВ; a4 = 23,7 МэВ;

a5= 34 МэВ.

Рассмотрим последовательно физический смысл всех членов формулы Вейцзеккера.

Первый член а1Aв этой формуле предполагает, что все нуклоны в ядре равноценны, и определяет примерно линейную зависимость энергии связи ΔW от А, отражая свойство насыщения ядерных сил, рассмотренное в §1.4 п.1. Однако, обращает внимание отличие вдвое коэффициента а1 от 8 МэВ – приблизительной величины энергии связи для большинства стабильных нуклидов (см. рис.1.4.2). Это вызвано учетом поправок на уменьшение энергии связи, которое дается вторым, третьим и четвертым членами формулы Вейцзеккера.

Второй член а2A2/3 учитывает, что не все нуклоны в ядре равноценны и дает поправку на уменьшение полной энергии связи, обусловленную тем, что часть нуклонов находится у поверхности ядра. Нуклоны в поверхностном слое не испытывают насыщения всех своих возможных связей, так как испытывают одностороннее притяжение вглубь ядра. Количество периферийных нуклонов определяется поверхностью ядра S ~, которая, в силу (1.5.2), пропорциональна A2/3.

Третий член а3·в формуле определяет взаимное кулоновское расталкивание протонов, энергия которого пропорциональна Z2/R. Кулоновские силы не испытывают насыщения, и каждый из Z протонов взаимодействует со всеми остальными Z – 1; таким образом Z(Z - 1) ≈ Z2. Коэффициент а3 может быть вычислен на основании представления о равномерном распределении электрического заряда по объему сферы радиуса R:

(2.2.5)

Это соотношение позволяет найти коэффициент , если известна величина Rили, наоборот, подсчитать радиус ядра R по известному коэффициенту  для всех ядер. Если в формуле (1.5.2) принять r0 = 1,3·10-13см, то величина а3 = 0,66 МэВ.

Если ограничиться только этими тремя слагаемыми, следующими из капельной модели, то оказывается, что устойчивость ядра должна возрастать с увеличением числа нейтронов в ядре при заданном числе протонов. Однако экспериментальные данные указывают на иную тенденцию. Четвертый член в формуле (2.2.4), который носит название поправки на энергию симметрии, уже не следуетиз модели жидкой капли и отражает наблюдаемую в природе тенденцию к симметрии в строении ядер. Считается установленным, что при отсутствии кулоновских сил максимум удельной энергии связипри фиксированном А соответствовал бы всем ядрам с равным числом протонов Z и нейтронов N (эффект симметрии), т.е. Z = N =A/2. Это обусловлено зарядовой независимостью ядерных сил (см. §1.10), и необходимостью выполнения принципа Паули (см. §1.11) для двух нуклонов, которые имеют спин 1/2. Равное число протонов и нейтронов у легких ядер, лежащих на дорожке стабильности (см. рис. 1.1.1 и 1.1.2), когда энергия кулоновского расталкивания мала, косвенно подтверждает это положение. Для компенсации расталкивающего действия кулоновских сил, величина которых ~ Z2 (см. пояснения к третьему члену формулы), у стабильных тяжелых ядер > Z , но кулоновская энергия уже учтена в третьем члене, и поэтому четвертый член действителен также для средних и тяжелых ядер. Отклонение от равенства Z = A/2 в любую сторону ведет к уменьшению удельной энергии  связи ядра (A,Z) и четвертый член в формуле должен быть отрицательным. Поэтомуразность (N - Z) необходимо возвести в квадрат и разделить на А (отнести к одному нуклону). Так как N  = - Z, то четвертый член приобретает вид a4·(A – 2Z)2/A.

Последний член в формуле (2.2.4) отражает распространенность стабильных элементов и учитывает эффект спаривания одинаковых нуклонов (см. §1.4 п.3). Ядра, у которых числа N и Z - четные (Ч-Ч ядра) имеют удельную энергию связи примерно на 1 Мэв большую, чем соседние ядра, у которых либо N, либо Z - нечетные (Ч‑Н и Н-Ч ядра). Ядра с нечетным числом и протонов, и нейтронов (Н-Н ядра) имеют наименьшую удельную энергию связи среди соседних ядер. Стабильных ядер последнего типа, как отмечалось в §1.1, известно всего четыре.  В соответствии с этим величина δ в пятом члене формулы Вейцзеккера принимает три значения:

Таким образом, для четных А формула (2.2.4) двузначна.

Остановимся на некоторых следствиях из формулы Вейцзеккера. По заданным А и Z можно:

1. Вычислить массу ядра. Из формулы (1.4.11)

(2.2.6)

если энергию связи ядра рассчитать по формуле (2.2.4).

2. Найти удельную (среднюю) энергию связи  нуклона для любого нуклида.

3. Найти среднюю энергию связи (отделения) протона и нейтрона в ядре

(2.2.7)

 

(2.2.8)

и любой группы связанных нуклонов, например α-частицы:

(2.2.9)

Еслиεα< 0, то получаем энергию α-распада.

4. Найти Z0 нуклида, устойчивого по отношению к β-распаду, для любой группы ядер-изобар. На рис. 2.2.1 представлена зависимость (2.2.6) массы ядра от Z для изобар, имеющих нечетное число нуклонов (а) и – четное число нуклонов (б). Кривые надо понимать условно, так как физический смысл имеют значения массы ядер только для дискретных значений Z. Переходы в состояния с меньшей массой показаны на рисунке стрелками. Кривая I на рис. 2.2.1 б) соответствует нестабильным относительно β-распада нечетно-нечетным ядрам. Причем некоторые из ядер могут испытывать (см. §3.5) как электронный распад, так и позитронный распад, или же Е‑захват. Изобары, лежащие на кривой II, могут иметь по несколько стабильных нуклидов, так как двойной β-распад неизвестен.

На основании формулы (2.2.6) можно получить условие устойчивости ядер относительно β-распада. Очевидно, что наиболее устойчивые изобары должны иметь минимальную массу М при заданном числе А нуклонов. Для нахожденияминимума решаем уравнение

(2.2.10)

откуда находим

(2.2.11)

если в формуле (2.2.4) использовать приведенные выше значения коэффициентов а1 ÷ а5. Полученное выражение (2.2.11) является, по существу, уравнением дорожки стабильности и позволяет определять Z0 для заданных А с точностью ±1. Из (2.2.11) следует, что для β-стабильных ядер при малых значениях А (легкие ядра) Z≈ 0,5A, а для тяжелых (А = 238) Z≈ 0,39A, что совпадает с экспериментальными данными на рис. 1.1.2.

5. Проникновение нуклона в ядро-каплю приводит из-за малой сжимаемости ядерного вещества к коллективному движению нуклонов, вызывающих деформацию ядра без изменения его объема, в результате чего оно принимает форму эллипсоида или более сложной фигуры и возможно возникновение колебаний ядерной жидкости.

6. Капельная модель позволяет построить качественную модель деления тяжелых ядер.

Наряду с отмеченными достоинствами капельной модели, перечислим и ее некоторые основные недостатки. Капельная модель учитывает коллективное взаимодействие нуклонов между собой, но совершенно не учитывает взаимодействия и свойства отдельных нуклонов. Поэтому капельная модель приводит к плавной зависимости свойств ядер от числа и состава нуклонов в ядре. Ряд свойств ядра – удельная энергия связи , спин ядра, магнитный и электрический моменты изменяются периодически от числа нуклонов в ядре. Четно-четные ядра в основном состоянии имеют нулевой спин, магнитный и электрический моменты. Капельная модель не объясняет наличия магических чисел, не дает правильного описания возбужденных уровней легких и средних ядер, не объясняет асимметрию деления ядер, хотя и используется довольно плодотворно в теории деления ядер.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА

Радиоактивностью называется процесс самопроизвольного распада неустойчивых ядер с испусканием других ядер или элементарных частиц.

a, b, g-излучения.  Альфа-лучи отклоняются электрическим и магнитным полями; они представляют собой поток атомных ядер гелия , называемых a-частицами. Проходя через вещество, a-частица ионизирует его атомы, выбивая электроны из атомов вещества. Альфа-лучи обладают небольшой проникающей способностью.

Бета-лучи отклоняются электрическим и магнитным полями; они представляют собой поток быстрых электронов, называемых b-частицами; проникающая способность b-частицы значительно больше, чем у a-частицы.

Гамма-лучи не отклоняются ни электрическим, ни магнитным полями; они представляют собой поток фотонов с очень высокой частотой порядка 1020 Гц. Являясь крайне жестким электромагнитным излучением, гамма-лучи  во многом подобны характеристическим рентгеновским лучам, но в отличие от них они испускаются атомным ядром. Гамма-лучи являются одним из самых проникающих излучений. Тело человека они пронизывают насквозь.

Закон радиоактивного распада:

где N0 – число атомов элемента в начальный момент времени, N – число атомов того же элемента, оставшихся по истечении времени t, λ – постоянная распада, e – основание натурального логарифма.

Для практического использования закон радиоактивного распада удобно записать в другом виде, используя в качестве основания число 2, а не e :

.

Периодом полураспада Т называется время, в течение которого количество атомов исходного элемента уменьшается вдвое.

Среднее время жизни радиоактивного атома – это величина , обратно пропорциональная постоянной распада:

.

Активностью элемента а называется число атомных распадов, совершающихся в радиоактивном элементе за 1 с:

Единицы радиоактивности. Для установления интенсивности радиоактивности образца и количества излучения, поглощенного объектом, используют две единицы: Кюри (Ки) и рад. 1 Ки радиоактивности соответствует 3,7·1010 распадов в секунду.

Радиационное облучение (поглощенная доза – D) выражают в единицах, называемых Грэями, которые показывают поглощенную дозу облучения. Если 1 кг вещества поглотил 1 Дж радиационной энергии, то говорят, что доза равна 1 Грэю. 1 Гр = 1 Дж/кг.

Связь поглощенной и экспозиционной доз: , где f – переходный коэффициент (для воды и мягких тканей человека f = 1), если D измеряется в радах, а X – в рентгенах.

Количественная оценка биологического действия ионизирующего излучения. В дозиметрии принято сравнивать биологические эффекты различных излучений с соответствующими эффектами, вызванными рентгеновским и гамма-излучением.

Коэффициент К, показывающий, во сколько раз эффективность биологического действия данного вида излучения больше, чем рентгеновского или гамма-излучения, при одинаковой дозе излучения в тканях, является коэффициентом качества. Он устанавливается опытным путем.

Эквивалентной дозой излучения, характеризующей биологическое действие ионизирующего излучения, называют произведение Н = D К. Измеряется она в Бэрах.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

№ 2.1.

Определить начальную активность А0 радиоактивного магния 27Mg массой 0,2 кг, а также активность А по истечении времени t = 1 час.

Решение

Начальная активность изотопа

 , (1)

где λ – постоянная радиоактивного распада, N0 – количество атомов изотопа в начальный момент.

Если учесть, что , то формула (1) примет вид

  (2)

Проведя несложные вычисления, получим, что А0 = 5,15∙1012 Бк.

Активность изотопа уменьшается со временем по закону

 . (3)

Заменив в формуле (3) постоянную распада λ ее выражением, получим

.

Так как , то окончательно будем иметь

.

Подставив численные значения, получим А = 8,05∙1010 Бк.

 

§2.2. Капельная модель

Справочник