Задание и изображение плоскости на чертеже Способы преобразования чертежа Окружность в прямоугольной изометрии Метод проецирования Проекции плоскости Способы сечений Задание многогранников на эпюре Монжа

Начертательная геометрия примеры задач

В процессе параллельного проецирования (получения проекций геометрической фигуры по её оригиналу) или реконструкции чертежа (воспроизведения оригинала по заданным его проекциям) любую теорему можно составить и доказать, базируясь на инвариантных свойствах параллельного проецирования, которые в начертательной геометрии играют такую же роль, как аксиомы в геометрии.

Многогранники

Задание многогранников на эпюре Монжа (общие положения)

Многие пространственные фигуры представлены в виде многогранников – замкнутых пространственных фигур, ограниченных плоскими многоугольниками. Вершины и стороны многоугольников являются вершинами и ребрами многогранника, при этом, если все его вершины и ребра находятся по одну сторону плоскости любой из его граней, то многогранник называется выпуклым, а все его грани являются выпуклыми многоугольниками.

Многогранники широко распространены в архитектуре, строительстве, технике. Многие детали машин и механизмов, станков, инструментов и приборов имеют форму многогранников или их сочетаний.

5.2. Виды многогранников

Наибольший практический интерес представляют призмы, пирамиды и выпуклые однородные многогранники – тела Платона (тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр). Это правильные (соответственно) четырех-, шести-, восьми-, двенадцати- и двадцатигранники.

Начертательная геометрия, являясь одной из ветвей геометрии, относящейся к математике, имеет ту же цель, что и геометрия вообще: изучение форм предметов окружающего нас материального мира и отношений между ними, установление закономерностей и применение их к решению практических задач.

Пирамида – это многогранник, одна грань которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники с общей вершиной (рис. 5.1). Пирамида называется правильной, если основанием её является правильной многоугольник, а высота (перпендикуляр, опущенный из вершины на основание) проходит через центр этого многоугольника.

Рис. 5.1

Пирамида называется усечённой, если вершина её отсекается плоскостью, пересекающей все ребра, исходящие из этой вершины (рис. 5.1, 5.2).

Рис. 5.2

Призмой называют многогранник, две грани которого (основания призмы) представляют собой равные многоугольники с взаимно параллельными сторонами, а все другие грани – параллелограммы (рис. 5.3).

Рис. 5.3

Призму называют прямой, если ребра её перпендикулярны плоскости основания. Если основанием призмы является прямоугольник, а боковые рёбра перпендикулярны основанию, то её называют параллелепипедом (рис. 5.4)

Рис. 5.4

Многогранник, все грани которого представляют собой правильные и равные многоугольники, называют правильными (это – тела Платона).

Русский математик Леонард Эйлер открыл и доказал знаменитую теорему, связывающую число граней (Г), вершин (В) и рёбер (Р) любого выпуклого многогранника:

Г + В – Р = 2 (число Эйлера)

Построение проекций многогранника сводиться к построению проекций вершин и рёбер, т.е. сетки многогранника.

Приведение отрезка прямой АВ общего положения в проецирующее положение

Метод плоско-параллельного перемещения Этот метод является разновидностью метода вращения. Как известно, при вращении некоторой точки вокруг своей оси она описывает окружность, расположенную в плоскости, перпендикулярной оси вращения

Пересечение многогранника плоскостью Цель пересечения многогранников – выяснить их конструктивные особенности, которые невозможно определить на обычных проекциях.

Пересечение многогранников с кривой поверхностью Линия пересечения многогранника с кривой поверхностью состоит из плоских кривых, каждая из которых получается в результате сечения кривой поверхности одной из граней многогранника. Точки, в которых эти плоские кривые соединяются друг с другом, являются точками пересечения ребер многогранника с кривой поверхностью.

Обобщенные позиционные задачи. Пересечение кривой поверхности плоскостью. В сечении поверхности плоскостью получается плоская линия, которую строят по отдельным точкам.

Основные инвариантные (независимые) свойства параллельного проецирования. При параллельном проецировании нарушаются метрические характеристики геометрических фигур (происходит искажение линейных и угловых величин), причём степень нарушения зависит как от аппарата проецирования, так и от положения проецируемой геометрической фигуры в пространстве по отношению к плоскости проекции.
Основные разделы курса Начертательная геометрия