Задание и изображение плоскости на чертеже Способы преобразования чертежа Воспользуйтесь справочником телефонов, там все абоненты Окружность в прямоугольной изометрии Метод проецирования Проекции плоскости Способы сечений Задание многогранников на эпюре Монжа

Начертательная геометрия примеры задач

Крупный след в развитии начертательной геометрии в России в XIX веке оставили Н.И. Макаров (1824-1904) (адмирал Макаров, погибший в Порт-Артуре) и В.И. Курдюнов (1853-1904). Если начертательная геометрия как предмет возникла из нужд практики и в середине XIX века она расширила свои разделы, то к началу XX века аналитические методы, применённые в начертательной геометрии, вышли на первый план, точность графических методов не удовлетворялась и начертательная геометрия пошла на убыль. Последними книгами были книги Н.А. Рышина (1877-1942) и В.О. Гордона.

ПЛОСКОСТЬ

Задание и изображение плоскости на чертеже

Плоскость - это простейшая поверхность.

Положение плоскости в пространстве определяется: а) тремяточками, не лежащими на одной прямой линии, б) прямой иточкой, не принадлежащей данной прямой, в) двумя пересекающимися прямыми, г) двумя параллельными прямыми, д) любой плоской фигурой.

В соответствии с этим на чертеже плоскость может быть задана: а) проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой, a(А,В,С) (рис.3.1), б) проекциями прямой и точки взятыми внеэтой прямой, b(а,А) (рис.3.2), в) проекциями двух пересекающихся прямых, b(a Ç b) (рис.3.3), г) проекциями двух параллель-ных прямых, a(а || b), (рис,3.4), д) проекциями плоской фигуры (треугольника, окружности, квадрата,.,) (рис.3.5).

Сопротивление среды увеличивает период свободных колебаний.

Рис.3.1 Рис.3.2 Рис.3.3 Рис.3.4 Рис.3.5

Каждое из представленных заданий плоскости рис. (3.1-3,5) может быть преобразовано в любое из них.

3.2 Следы плоскости

Более наглядно плоскость может быть изображена при помощи прямых, по которым она пересекает плоскости проекции.

На рис. 3.6 некоторая плоскость a задана двумя пересекающимися прямыми АВ и СВ. для построения прямой, по которой плоскость р пересечет плоскость Н, достаточно построить две точки, принадлежащих одновременно плоскостям а и Н. Такими точками служат следы прямых АВ и СВ на плоскости Н, т.е. точки пересечения этих прямых с плоскостью Н.

Рис. 3.6 Рис. 3.7 Рис. 3.8

Построив проекции этих следов и проведя через точки Mi' и М2 'прямую, получим горизонтальную проекцию линии пересечения плоскостей a и Н, Линия пересечения плоскостей a и V определяется фронтальными следами прямых АВ и СВ.

Прямые, по которым некоторая плоскость пересекает плоскости проекций, называется следами этой плоскости на плоскостях проекций.

Прямая, по которой плоскость a (рис. 3.7, 3,8) пересекает горизонтальную плоскость проекций Н - горизонтальный след плоскости a и обозначается aн.

Прямая, по которой плоскость a пересекает фронтальнуюплоскость проекции V, - фронтальный след плоскости a, который обозначается aV. Точка пересечения aн и aV на оси Х называется точкой схода следов и обозначается Хa

След плоскости на плоскости проекции сливается со своей проекцией на этой плоскости, следовательно, aн = aн' , где aн' горизонтальная проекция горизонтального следа плоскости a; фронтальная проекция этого следа располагается на оси X.

Фронтальный след плоскости a aV- = av¢¢, где av'' - фронтальная проекция фронтального следа плоскости а; горизонтальная проекция этого следа располагается на оси X.

На чертеже плоскость может быть, задана проекциями ее следов (рис. 3,9). Такой чертеж нагляден и представляет удобство при некоторых построениях.

Если рассматривать плоскость a в системе H,V,W, то в общем случае плоскость a пересекает оси X, Y, Z. Такая плоскость называется плоскостью общего положения aw - профильный след плоскости a

aw=aw'"

 Рис.3.9 Хо, Yo, Zo- точки схода следов

 плоскости a

3.3 Взаимопринадлежность точки и прямой плоскости. Прямые особого положения.

Из положения геометрии следует:

1) прямая принадлежит плоскости, если она проходит черездве точки, принадлежащие данной плоскости.

2) прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку, принадлежащую данной плоскости, и параллельна прямой, находящейся в этой плоскости или параллельна ей. Зададим плоскость a двумя пересекающимися прямыми АВ и СВ (рис.3.10), плоскость b двумя параллельными прямыми DE и FG. Согласно первому положению прямая, пересекающая прямые, определяющие плоскость, находится в данной плоскости.  Из этого следует, что если тоскость задана следами, то прямая принадлежит плоскости, если следы прямой находятся на одноименных с ними следах плоскости (рис, 3.11)

Рис.3.10

Рис.3.11 Рис.3.12

Плоскости a и g заданы следами (рис.3.11, 3.12).

 Прямая, проходящая через точки М и N, пересекает следы плоскостей a и g. Точка М является горизонтальным следом прямой MN, точка N - фронтальный след прямой MN и, следовательно, прямая MN принадлежит плоскости a (рис.3.11) и плоскости g (рис. 3.12).

26

Из рис. 3.13 следует, что прямая принадлежит плоскости,

если она параллельна одному из следов этой плоскости и имеет с другим следом общую точку, которая является одноименным следом этой прямой.

Для построения на чертеже точки, лежащей в заданной плоскости, сначала строят прямую, принадлежащую заданной плоскости, затем на этой прямой берут точку.

Например, требуется найти фронтальную проекцию точки D и известно, что точка D принадлежит плоскости, заданной треугольником АВС (рис. 3,14). Сначала строят горизонтальную проекцию прямой, принадлежащей данной плоскости и проходящей через D'. Затем строят фронтальную проекцию той же прямой (А"М") и на ее продлении находят D".

Среди прямых, принадлежащих плоскости, особое положение занимают горизонтали, фронтали и линии наибольшего наклона к плоскостям проекций.

Горизонталями плоскости называют прямые, лежагцие в ней и параллельные горизонтальной плоскости проекций.

Построим горизонталь плоскости, заданной треугольником АВС. Горизонталь построим через вершину А (рис.3.15).


 

Рис3.14

 Рис.3.15 Рис.3.16

Так как горизонталь плоскости параллельна плоскости Н, то ее фронтальная проекция А"К" параллельна оси X, Строим горизонтальную проекцию точки К и проводим прямую через точки А и К.

Рассмотрим построение горизонтали плоскости, заданной следами (рис. 3.16).

Горизонтальный след плоскости является одной из ее горизонталей (нулевая горизонталь). Поэтому построение какой -либо из ее горизонталей сводится к проведению в этой плоскости прямой, параллельной горизонтальному следу плоскости.

Горизонтальная проекция горизонтали параллельна горизонтальному следу плоскости; фронтальная проекция горизонтали параллельна оси X.

Фронталями плоскости называют прямые, лежащие в ней и параллельные плоскости проекций V. Пример построения фронтали в плоскости дан на рис.3.17. Построение выполнено

аналогично

 

 Рис3.17  Рис.3.18

построению горизонтали (см. рис. 3,15), Пусть фронталь проходит через точку А. Так как фронталь параллельна плоскости V, то А'К' параллельна оси X, затем строим фронтальную проекцию К" и фронтальную проекцию фронтали А"К",

Построим фронталь плоскости, заданной следами. Рассматривая рис.3.18 устанавливаем, что прямая MB является фронталью плоскости b, она параллельна фронтальному следу (нулевой фронтали) плоскости. Горизонтальная проекция фронтали параллельна оси X, фронтальная проекция фронтали параллельна фронтальному следу плоскости bv.

Линиями наибольшего наклона плоскости к плоскостям проекций Н, V, W называются прямые, лежащие в ней, и перпендикулярные или к горизонтали плоскости, или к ее фронтали,

или к ее профильной прямой. Линия наибольшего наклона к плоскости Н называется линией ската плоскости,

Эти линии определяют угол наклона плоскости к плоскостями,H,V,W.

Согласно правилам проецирования прямого угла горизонтальная проекция линии ската плоскости перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали этой плоскости или к ее горизонтальному следу. Фронтальная проекция линии ската строится после построения горизонтальной.

 Рис. 3.19 Рис. 3.20

На рис. 3.19 изображена линия ската плоскости a: ВК ^ h¢, ÐBKB' - линейный угол двугранного угла, образованного этой плоскостью и плоскостью Н. Следовательно линия ската служит для определения угла наклона этой плоскости к плоскости Н.

На рис,3,20 построены линии ската в заданных плоскостях.

Линейный угол между линией ската и ее горизонтальной проекцией равен углу наклона заданной плоскости к плоскости Н.

Линейный угол между линией наибольшего наклона к плоскости V и ее фронтальной проекцией равен углу наклона заданой плоскости к плоскости V.

Линейный угол между линией наибольшего наклона к плоскости W и ее профильной проекцией равен углу наклона заданной плоскости к плоскости W.

В разработанном курсе лекций рассмотрены основные разделы курса "Начертательная геометрия". Лекции включают в себя сведения о методах проецирования, о образовании проекций точки, прямой линии, плоскости и их взаимном положении. Рассмотрены способы преобразования чертежа, построение многогранников и кривых поверхностей, пересечение кривых и гранных поверхностей прямой линией и плоскостью, Даны сведения об аксонометрических проекциях.

Виды проецирования Существует несколько видов проецирования. Проекции центральные, - когда задается плоскость про-екции и центр проекции точки, не лежащей в этой плоскости

Проецирование отрезка прямой линии Проецирование прямой линии на две и три плоскости проекции. Прямая линия в пространстве вполне определяется положением двух любых точек, принадлежащих этой прямой (траектория перемещения точки)

Положение плоскостей относительно плоскостей проекций Возможны следующие положения плоскости относительно плоскостей проекций H,V,W:

Построение линии пересечения двух плоскостей Прямая линия, получаемая при взаимном пересечении двухплоскостей, определяется двумя точками, каждая из которых одновременно принадлежит обеим плоскостям.

С появлением трудов Н.Ф. Четверухина (1891-1973) начертательная геометрия была выведена из застоя. Н.Ф. Четверухин стал рассматривать начертательную геометрию как самостоятельную науку (не связанную с черчением). Он первый увидел, что методами начертательной геометрии можно решать сложные конструктивные задачи. Появилась "Прикладная геометрия" и начался её расцвет. За период с конца 40-х годов начертательная геометрия развивалась и расширялась. В науке большая роль принадлежит И.И. Котову (1905-1975) и его ученикам. После смерти Н.Ф. Четверухина начался процесс сокращения часов по начертательной геометрии и произошел застой. В 1982 г. вопрос в ВАКе был решён положительно и предмет восстановлен.
Основные разделы курса Начертательная геометрия