Задание и изображение плоскости на чертеже Способы преобразования чертежа Окружность в прямоугольной изометрии Метод проецирования Проекции плоскости Способы сечений Задание многогранников на эпюре Монжа

Начертательная геометрия примеры задач

Пространственная модель координатных плоскостей проекций. Положение точки (а следовательно, и любой геометрической фигуры) в пространстве может быть определено, если задана координатная система отнесения (наиболее удобна - декартова). Рассмотрим макет из трёх взаимно перпендикулярных плоскостей.

Построение точки пересечения прямой и плоскости

Прямая линия в пространстве может принадлежать плоскости (этот случай был рассмотрен ранее в пункте 3.4 настоящей главы), а также быть параллельной плоскости или пересекать её. При пересечении прямой линии с плоскостью следует выделить частный случай, когда прямая перпендикулярна плоскости. Первый случай был разобран в пункте 3.4, в котором рассматривалась одна из основных графических операций – построение линий, принадлежащих плоскости.

Рассмотрим случай пересечения прямой линии с плоскостью.

Если прямая не принадлежит плоскости, и не параллельна ей, то она пересекает данную плоскость. Задача на пресечение прямой линии с плоскостью является одной из основных задач начертательной геометрии. Она входит составной частью в решение самых различных задач по всем разделам курса. Решение задач на пересечение прямой и плоскости с поверхностью и взаимное пересечение поверхностей, построение теней в ортогональных проекциях, аксонометрии и перспективе практически сводится к определению точки пересечения прямой с плоскостью или поверхностью.

При решении задач на пересечение прямой с плоскостью следует выделить частный случай. Если плоскость занимает проецирующее положение, то одна проекция точки пересечения определяется в пересечении проекции прямой с проецирующим следом плоскости, а другая проекция строится с помощью линии связи (рис. 3.10.)

Рис. 3.10

а) б)

Рис. 3.11

Если заданная плоскость общего положения, точка пересечения прямой с плоскостью определяется с помощью вспомогательной секущей плоскости.

Для построения точки пересечения прямой линии с плоскостью необходимо (рис. 3.11):

провести через прямую АВ вспомогательную проецирующую плоскость Q;

построить линию 1-2 пересечения данной плоскости и вспомогательной;

определить искомую точку К пересечения данной прямой DЕ с линией пересечения плоскостей 1-2.

Решение этой задачи показано на пространственной модели (рис. 3.12, а) и на комплексном чертеже (рис. 3.12,б). Завершается решение задачи определением видимых участков прямой. Видимость прямой относительно плоскости треугольника определяется путем разбора взаимоположения точек заданной прямой и сторон плоскости треугольника, совпадающих на проекциях (метод конкурирующих точек).

Рис. 3.12

Задача на пресечение прямой с плоскостью решается аналогичным способом и в том случае, когда плоскость задана следами (рис. 3 13). Через прямую АВ проведена горизонтально–проецирующая плоскость Q. Найдена линия пересечения МN плоскости посредника Q с плоскостью заданной Р. Искомая точка пересечения К прямой АВ с плоскостью Р найдена в пересечении заданной прямой с полученной линией пересечения. Видимость участков прямой определена методом конкурирующих точек.

Рис. 3.13.

Параллельность прямой и плоскости При решении вопроса параллельности прямой линии и плоскости необходимо опираться на известное положение стереометрии: прямая параллельна плоскости, если она параллельна одной из прямых, лежащих в этой плоскости.

Параллельность плоскостей Рассмотрим случай взаимной параллельности плоскостей. Если плоскости параллельны, то всегда в каждой из них можно построить по две пересекающиеся между собой прямые линии так, чтобы прямые одной плоскости были соответственно параллельны двум прямым другой плоскости

Примеры позиционных и метрических задач на плоскость Пример. В плоскости, заданной треугольником АВС, построить точку D

Пример. В плоскости, заданной двумя параллельными прямыми АВ и CD, провести фронталь на расстоянии 15 мм от фронтальной плоскости проекций

Методы преобразования комплексного чертежа (эпюра Монжа) Четыре основных задачи на преобразование При разработке чертежей объектов необходимо давать наиболее выгодное изображение объекта в целом или его исследуемых элементов. Этого можно достичь, если прямые линии, плоские фигуры (основания, грани, ребра, оси) геометрических тел находятся в частном положении, чего можно достигнуть путем построения новых дополнительных проекций, исходя из двух заданных. Эти дополнительные проекции дают либо вырожденные проекции отдельных элементов, либо эти элементы в натуральную величину. Так вот построение дополнительных проекций называют преобразованием эпюра (чертежа).

Для построения обратимого чертежа необходимо иметь две взаимосвязанные проекции оригинала. Поэтому только прямоугольное (ортогональное) проецирование, по крайней мере, на две взаимно перпендикулярных плоскости проекций является основным методом построения технического чертежа (метод Монжа). Ортогональное (прямоугольное) проецирование обладает рядом преимуществ перед центральным и параллельным (косоугольным) проецированием.
Основные разделы курса Начертательная геометрия