Курсовая по Кузнецову Задачи на кратные интегралы

 

Задача 1 Изменить порядок интегрирования

Задача 2 Изменить порядок интегрирования

Решение:

первый интеграл – есть двойной интеграл от функции f по некоторой области D₁ . Согласно (1) область D₁ записывается в виде . Второй интеграл – есть двойной интеграл от функции f по области D₂, которая согласно (1) записывается в виде . В прямоугольной системе координат построим области ( рис. 1).

Рис. 1

 

 

 

 

 

 

*здесь в скобках приведен номер задачи из сборника заданий по высшей математике Л.А. Кузнецова[4].

Таким образом,

 

 

 

Так как повторные интегралы в левой части полученного равенства записаны по формуле (1), то двойной интеграл справа, должен быть записан в виде повторного, по формуле (2). Для этого область D запишем в виде . Очевидно, что а=0, b=1. Поскольку кривая   ограничивает область D слева и уравнение этой линии у=х, то . Кривая  ограничивает область D справа, и уравнение этой кривой . Выразив х, через у, получим  ( знак «+» перед корнем выбран потому, что нам нужна правая часть окружности), т.е.  . Следовательно,  . Применяя формулу (2), получим:

 

 

 

(1.29). изменить порядок интегрирования.

 

 

Решение:

Согласно (2) области D_! и D₂ записываются  в виде . В прямоугольной системе координат построим области ( рис. 2).

 

Рис. 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом,

 

 

поскольку повторные интегралы в левой части полученного равенства записаны по формуле (2), то двойной интеграл справа должен быть записан по формуле (1). Для этого нужно записать D в виде . Очевидно, что а=0, b=1. Поскольку кривая   ограничивает область D снизу и уравнение этой кривой   , то выразив у через х, получаем у=х² , т.е.  . Так как кривая ограничивает D сверху и уравнение этой кривой   , то выразив у через х, получим  ( знак «+» перед корнем выбран потому, что нам нужна верхняя часть окружности), т.е.  . Следовательно,  . Применяя формулу (1) получим:

 

 

Задача 3 Вычислить двойной интеграл

Задача 4 Вычислить двойной интеграл

Задача 5 Вычислить тройной интеграл

Задача 6 Вычислить тройной интеграл

Задача 7 Вычислить тройной интеграл

Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями у=11 – х²; у= - 10х.

Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями  

Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями: у²-4у+х²=0; у²-8у+х²=0; ;

Пластина D задана ограничивающими ее кривыми M--поверхностная плотность. Найти массу пластины.

Пластинка D заданна ограничивающими ее кривыми, m - поверхностная плотность. Найти массу пластинки.

Найти объем тела W, заданного ограничивающими его поверхностями:

Найти объем тела W, заданного ограничивающими его поверхностями

Найти объем тела W, заданного ограничивающими его плоскостями: х²+у²=5у; х²+у²=8у;

Найти объем тела W, заданного ограничивающими его поверхностями: х²+у²+2х=0; z=25/4 –y²; z=0.

Найти объем тела W, заданного ограничивающими его поверхностями

Найти объем тела W, заданного, ограничивающими его поверхностями .

Найти объем тела W, заданного ограничивающими его поверхностями z=10(x²+y²)+1; z=1-20y.

Тело W задано ограничивающими его поверхностями ,m - плотность. Найти массу тела. 4(x²+y²)=z²; x²+y²=1; y=0; z=0;(y³ 0; z³ 0); m=10(x²+y²)/

Лекции, примеры решения задач

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Матрицы, операции над матрицами

Применение тройных или кратных интегралов

Масса неоднородного тела. Тройной интеграл

Вычисление тройных интегралов Декартовы координаты

Вычисление тройных интегралов Цилиндрические координаты

Вычисление тройных интегралов Сферические координаты

Применение тройных интегралов

Пусть задан двукратный интеграл     .

Квадратичные формы и их применение

Определители матриц Определение. Матрицей из m строк, n столбцов назыается прямоугольная таблица чисел ; - элемент матрицы; i-номер строки; i=1,…,m; j-номер столбца, j=1,…,n; m, n – порядки матрицы. При m=n - квадратная матрица.

Линейные евклидовы и унитарные пространства

Системы координат в пространстве: декартовы, цилиндрические и сферические координаты

Декартова система координат в пространстве определяется точкой и базисом из трех векторов. Точка O называется

началом координат. Прямые, проведенныечерез начало координат в направлении базисных векторов, называются

осями координат. В трехмерном пространстве они называются

осями абсцисс, ординат и аппликат. Оси координат являются числовыми осями с началом в точке O , положительным направлением, совпадающим с направлением соответствующего базисного вектора, и единицей длины, равной длине этого вектора.

Координатами точки M называются координаты вектора OM (

радиус–вектора) (см. рис. 1). Если базис ортонормированный, то связанная с ним декартова система координат называется

прямоугольной.

Пусть задан двукратный интеграл     . Если область интегрирования D (рис. 15), задаваемая неравенствами     является также правильной относительно оси ОУ, т.е. граница области D пересекается прямой y = c (c постаянная) не более чем в двух точках, то область D можно задать другими неравенствами:

.

Математика курс лекций для технических университетов

• Некоторые понятия теории множеств и математической логики
• Отображение, взаимно-однозначное соответствие, счетное и несчетные множества
• Некоторые понятия математической логики
• Вещественные числа

Комплексные числа

• Определение комплексного числа

  Рассматривается множество упорядоченных пар z = (x, y). Первое число из такой пары называется вещественной частью и обозначаются x = Re z, второе число называется мнимой частью y = Im z.

  Два элемента z1 , z2 равны z1 = z2 , если равны их вещественные и мнимые части z1 = z2 Û { Re z1 = Re z2, Im z1 = Im z2 }.

  Определяются две операции:

  Сложение z = (x,y), w = (u,v), z + w = (x + u,y + v).

    Умножение zw = ( xu – yv, xv + yu).

  Это множество с такими операциями называется множеством комплексных чисел и обозначается C (комплексная плоскость).

  Геометрическая интерпретация. Комплексное число z=(x,y) можно интерпретировать, как радиус вектор в точку (x,y). 

  

• Свойства комплексных чисел
• Алгебраическая форма записи
• Модуль и аргумент комплексного числа. Комплексное сопряжение
• Формула Муавра

Верхняя и нижняя грани множества действительных чисел

• Ограниченное множество. Точные грани
• Существование точной верхней грани у ограниченного сверху множества

Теоремы о среднем для дифференцируемых функций

• Теорема Ферма о нуле производной
• Теорема Ролля о нуле производной
• Теорема Коши о конечных приращениях

Последовательности

• Основные понятия, относящиеся к последовательностям
• Предел последовательности
• Теоремы о пределах последовательностей
• Монотонные последовательности
• Некоторые свойства последовательностей связанные со свойством непрерывности вещественных чисел
• Верхний и нижний пределы последовательности
• Фундаментальная последовательность. Критерий Коши для последовательности
• Свойства последовательностей

Исследования характера поведения функций

• Условие монотонности функции
• Максимальные и минимальные значения функций ( экстремумы )
• Исследование функций на экстремум по знаку высших производных
• Выпуклость функции, точки перегиба
• Асимптоты функций
• Пример
• Пример
• Построение графиков функций, заданных в полярной системе координат
• Правило Лопиталя
• Раскрытие неопределенностей
• Использование правила Лопиталя
• Примеры

Элементы теории кривых Плоские кривые

• Элементы теории кривых
• Векторная функция скалярного аргумента
• Предел вектор функции
• Непрерывность вектор функции
• Правила дифференцирования
• Длина кривой Спрямляемая кривая
  • Теорема 1
  • Теорема 2
  • Теорема 3
  • Пример
• Плоские кривые
• Понятие кривизны и ее вычисление
• Выражение центра и радиуса кривизны для явно заданной кривой

Формула Тейлора

• Многочлен Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом Rn.

  Пусть f (n-1)-раз дифференцируема в окрестности U=(x0-a,x0+a) точки x0 и существует f(n)(x0). Многочленом Тейлора в точке x0 называется многочлен вида

  .

  Свойства многочлена Тейлора

   (1)

  Из (1) следует

  = (2)

  Из (1) следует

  Pn(x0)=f(x0),  (3)

  В частности, , k=0,1,…,n.

   

  Обозначим Rn(x)=f(x) - Pn(x), тогда

   (4)

  (4) – формула Тейлора функции f в окрестности точки x0 с остаточным членом Rn. Основная задача будет состоять в представлении остатка в удобной для оценок формах.

• Остаток в форме Пеано
• Единственность представления функции по формуле Тейлора
• Другие формы остатка в формуле Тейлора
• Разложение некоторых элементарных функций по формуле Тейлора
• Примеры использования стандартных разложений для представления функций по формуле Тейлора
  • Разложить функцию f(x)=1/cos x по формуле Тейлора с остатком Пиано по степеням x до x5 включительно
  • Используя разложение из предыдущего примера, разложить функцию f(x)=tg x по формуле Тейлора с остатком Пиано по степеням x до x6 включительно.
  • Пример
• Формула Тейлора для четных и нечетных функций

Дифференциальное исчисление Производные и дифференциалы высших порядков

• Производная Определение производной
• Геометрическая интерпретация производной
• Дифференциал функции
• Основные правила дифференцирования
• Производная сложной функции
• Вычисление производной обратной функции
• Производные элементарных функций
• Функции заданные параметрически
• Производные и дифференциалы высших порядков
• Производные высших порядков
• Вычисление производных функций, заданных неявно
• Формула Лейбница
• Дифференциалы высших порядков
• Инвариантность формы дифференциала первого порядка

Непрерывные функции

• Непрерывность в точке и на множестве
• Простейшие свойства непрерывных функций
• Ограниченность непрерывной функции. Теоремы Вейерштрасса
• Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции
• Критерий непрерывности монотонной функции
• Непрерывность обратной функции
• Непрерывность элементарных функций
• примеры
• Равномерная непрерывность

Предел функции

• Основные понятия, относящиеся к функции
• Ограниченность. Точные грани
• Элементарные функции
• Определение предела по Коши
• Односторонние пределы. Предел слева, предел справа
• Определение предела по Гейне
• Критерий Коши существования предела функции
• Локальная ограниченность функции, имеющей конечный предел
• Сохранение знака функции, имеющей ненулевой предел в точке
• Предел сложной функции

• Свойства пределов
  • Арифметические операции над пределами
  • Бесконечно малые и бесконечно большие функции
  • Замечательные пределы

    1.

    Для

    

    Откуда следуют неравенства

    

    Далее  cos x =1 и из (2)Þ

    

    Отметим, что было доказано:

    

    

    2.

    Лемма 1.xn=a, {nk} - последовательность натуральных чисел nk=+¥Þ =a.

    Доказательство:

    "e$Ne"n>Ne :|xn - a|<e (3)

    Для Ne $K"k >K: nk>Ne из (3) следует |- a|<e.

    Лемма 2. Если xk=0, xk>0, то =e.

    Доказательство: Будем считать, что xk < 1. Для целой части числа , nk= будут выполнены неравенства:

     , 

    Поэтому

     (4)

    Пределы последовательностей , согласно лемме 1, равны числу e. Для того, чтобы это проверить, эти последовательности можно представить в виде:

    .

    Переходя к пределу в (4) при k®¥ по теореме о трех последовательностях получим требуемое утверждение .

    Следствие 1. .

    Действительно, утверждение леммы 2 означает, что для любой последовательности {xk} типа Гейне при x®0 будет выполнено =e.

    Аналогичное утверждение справедливо для предела слева .

    Следствие 2. ,. Первое утверждение следует из теоремы о связи предела с односторонними пределами. Последнее равенство получено с помощью замены x = 1/y.

    Основные эквивалентности

    sin x ~ x, x®0,

    ax-1~ x ln a, x®0,

    ln(1+x )~ x, x®0.