Сборник задач по физике Курс лекций по физике Оптика Кинематика Теплопроводность Достоинства и недостатки резиновой женщины.

Лекции по физике теория газов

Распределение Больцмана

В присутствии гравитационного поля (или, в общем случае, любого потенциального поля) на молекулы газа действует сила тяжести. В результате, концентрация молекул газа оказывается зависящей от высоты в соответствии с законом распределения Больцмана:

n = n0exp( -mgh / kT )

где n - концентрация молекул на высоте h, n0 - концентрация молекул на начальном уровне h = 0, m - масса частиц, g - ускорение свободного падения, k - постоянная Больцмана, T - температура.

Мы можем видеть, что концентрация молекул у дна сосуда оказывается выше, чем концентрация в верхней части сосуда. Под действием теплового движения молекулы подбрасываются вверх, а затем падают вниз за счет действия сил тяжести.

Если высота сосуда много меньше чем kT/mg, то зависимостью концентрации от высоты можно пренебречь. С другой стороны, в атмосфере концентрация молекул быстро уменьшается с увеличением высоты и, поэтому, величина атмосферного давления также уменьшается. Принимая во внимание, что P = nkT, мы можем записать так называемую барометрическую формулу, описывающую изменение атмосферного давления в зависимости от высоты:

P = P0exp( -mgh / kT )

Измеряя давление за бортом самолёта, мы можем вычислить при помощи барометрической формулы приблизительную высоту полёта.

Баpометpическая формула. Закон Больцмана

Найдем pаспpеделение давления воздуха в атмосфере в предположении, что темпеpатуpа атмосферы не меняется по высоте. На малом перепаде высот dh давление падает на величину веса столба воздуха с сечением в единицу площади и высотой dh, т.е. f6_19.gif (293 bytes)(6.19)

Согласно (6.15) уравнение (6.19) можно переписать в виде

f6_20.gif (434 bytes)(6.20)

Пpоинтегpиpуем обе части полученного уравнения, полагая, что давление на "нулевой" высоте равно p0. Получим

f6_21.gif (308 bytes)(6.21)

Полученная формула называется баpометpической: давление в изотермической атмосфере падает с высотой по показательному закону. Так как молекулярная плотность при постоянной темпеpатуpе пpопоpциональна давлению газа, то этот же закон имеет место и для плотности газа:

f6_22.gif (291 bytes)(6.22)

Уравнение состояния идеального газа

 Простейшим объектом, для которого может быть получено уравнение состояния, является идеальный газ.

 Идеальным называется газ, молекулы которого имеют пренебрежимо малый собственный объем и не взаимодействуют друг с другом на расстоянии.

  Оказывается при нормальных условиях, т.е. давлении Р0=1.013×105Па (что эквивалентно 760 мм ртутного столба или одной физической атмосфере) и температуре Т0=273.15 К (t=0° C) многие газы (Н2, О2, N2, воздух и др.) можно считать с хорошим приближением идеальными. В самом деле, учитывая, что эффективные диаметры d молекул различных газов имеют величины порядка 10-10 м и при нормальных условиях концентрация молекул n=N/V1025 м-3, то среднее расстояние между молекулами <r>»10-8 м, т.е. столь велики по сравнению с d=10-10 м, что силами притяжения можно пренебречь. Суммарный собственный объем всех N1025 молекул, содержащихся в 1 м3, Npd3/6≈10-5 м3 << 1 м3. Следовательно, собственным объемом молекул газа тоже можно пренебречь.

  Таким образом, многие газы можно считать с хорошим приближением идеальными.

  Опытным путем было установлено, что при обычных условиях параметры состояния газов подчиняются уравнению Клапейрона

 РV/T=B=const. (1)

 Оказалось также, что чем разреженнее газ, тем точнее выполняется это уравнение. Идеальный газ строго подчиняется уравнению (1), которое, следовательно, является уравнением состояния идеального газа.

 Согласно закону Авогадро, при нормальных условиях, т.е. при температуре t=0° C (Т0=273.15 К) и давлении одна физическая атмосфера (Р0=1.013×105Па) объем моля любого газа равен V0=22.4 л/моль=22.4×10-3 м3/моль.(Напомним, что единицей количества вещества в СИ является моль. Один моль любого газа содержит одно и то же число молекул NA=6.02×10 23 моль-1, называемое постоянной Авогадро. Массу моля обозначают буквой М). Если m0 - масса одной молекулы, то масса моля или молярная масса

 М=m0NA. (2)

Масса моля вещества, выраженного в граммах, численно равна молекулярной массе этого вещества. Например, для кислорода О2 M=32∙10-3 кг/моль, для азота N2 M=28∙10-3 кг/моль. Подставляя эти значения в (1) и обозначая константу В для одного моля буквой R, находим 

 R= Р0V0/T0=1.013×105×22.4×10-3/273.15=8.31 Дж/моль×К. (3)

 Константу R называют универсальной газовой постоянной.

 Следовательно, уравнение состояния для моля идеального газа имеет вид

 РV=RT. (4)

 Для произвольной массы m газа можно переписать уравнение (4) в виде

 РV=(m/M)RT или РV=nRT, (5)

где n=m/M - число молей. Очевидно, что

n=N/NA,  (6)

где N - число молекул, содержащихся в массе газа m.

 В такой наиболее общей форме записи уравнение состояния идеального газа (5) называется уравнением Клапейрона-Менделеева.

 Употребляется еще одна форма уравнения (5). Введем постоянную Больцмана

k=R/NA. (7)

 Тогда из уравнения  (5) получим

 РV= (N/NA )RT=NkT. (8)

 Разделив обе части этого уравнения на объем газа V получим

 Р= nkT, (9)

где n=N/V - концентрация молекул, м-3.

 Уравнения (1), (5), (8), (9) представляют собой различные формы записи уравнения состояния идеального газа.

 Под термодинамическим процессом понимают всякое изменение состояния рассматриваемой системы, характеризующееся изменением ее термодинамических параметров Р,V,T.

 Примерами простейших термодинамических процессов могут служить:

Изотермический процесс, при котором температура системы не изменяется (T=const). Для него согласно (5), РV=const.

Изобарический процесс, происходящий при постоянном давлении в системе (Р=const). Для него согласно (5), V=С1Т.

Изохорический процесс, происходящий при постоянном объеме системы  (V=const). Для него согласно (5), P=С2Т.

Адиабатический процесс, происходящий без теплообмена между системой и внешней средой. Для него, как будет показано в 7.4, , где γ – показатель адиабаты (γ >1).

Способы изменения внутренней энергии тела. Внутреннюю энергию тела можно увеличить, совершая над ним работу. Тело, совершая работу, может уменьшить свою внутреннюю энергию. Процесс изменения внутренней энергии тела без совершения работы (телом или над ним) называется теплопередачей. Есть только два способа изменения внутренней энергии тела: совершение работы и теплопередача (теплообменом). Зная внутреннюю энергию тела нельзя сказать, каким способом оно эту энергию приобрело.
На главную