Физика лекции и примеры решения задач

Электротехника
Расчет цепей постоянного тока
Расчет цепей переменного тока
Расчет трехфазных цепей
Примеры  решения типовых задач
Лабораторные работы
Методические указания к решению задачи
Расчет сглаживающего фильтра
Трехфазные цепи
Цепи несиносоидального тока
Математика
Интегрирование тригонометрических функций
Вычисление интегралов от рациональных функций
Интегрирование рациональных функций
Повторные интегралы
Криволинейные интегралы первого рода
Криволинейные интегралы второго рода
Теорема Остроградского-Гаусса
Независимость криволинейных интегралов от пути интегрирования
Физические приложения двойных интегралов
Физические приложения криволинейных интегралов
Физические приложения поверхностных интегралов
Физические приложения тройных интегралов
Теорема Стокса
Поверхностные интегралы первого рода
Поверхностные интегралы второго рода
Тройные интегралы в декартовых координатах
Тройные интегралы в цилиндрических координатах
Тройные интегралы в сферических координатах
Производная показательной и логарифмической функции
Производная степенной функции
Производная произведения и частного функций
Дифференцирование и интегрирование степенных рядов
Найти производную функции
Примеры вычисления производной
Производная обратной функции
Логарифмическое дифференцирование
Исследование функций с помощью производных
Физика
Электродинамика
Электростатика
Электрический ток
Термодинамика
Решение задач
Основные операции над векторами
Кинематика твердого тела
Силы Виды взаимодействий
Закон сохранения импульса
Гравитация Законы Кеплера
Неинерциальные системы отсчета
Механические колебания
Физический маятник
Математический маятник
Резонанс
Специальная теория относительности

Преобразования Лоренца

Математическая физика
Химия
Примеры решения задач
контрольной работы
Современная теория строения
атомов и молекул
Контрольные задания
КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ
Химическая кинетика
Электролиз
Начертательная геометрия
Сечение геометрического тела
Аксонометрические проекции
Сборочный чертеж
Построение тел вращения
Развертка прямой призмы
Машиностроительное черчение
Профиль  резьбы
Работа «Соединение болтом»
Работа «Соединение шпилькой»
Сварные соединения
Разновидность  крепежных изделий
Выполнить эскизы с натуры
Шероховатостью поверхности
Выполнениечертежа сборочной единицы
Деталирование чертежа общего вида
Построение смешанного сопряжения.
Направления штриховки в разрезах
Сопромат
Деформации и перемещения при кручении валов
Расчет статически неопределимых балок
Действие с силами и моментами
Расчеты на прочность по допускаемым напряжениям
Расчет цилиндрических витых пружин

Примеры решения задач на прочность

Ядерная энергетика
Реакторы атомных станций
Ядерное топливо и ядерные отходы
Ядерно-энергетические транспортные установки
Блочный щит управления энергоблока
Реакторы на быстрых нейтронах
АЭС с реакторами ВВЭР нового поколения
РБМК - Реактор Большой Мощности Канальный
ВВЭР и РБМК: сравнительные характеристики
Энергосберегающие технологии
Альтернативная энергетика
Информатика
Тонкая клиентная сеть
Создание корпоративной Webсети
Восстановление ЛВС после аварий
Беспроводные сети
Серверы масштаба предприятия и суперсерверы
Протоколы сетевого управления
Прокси-серверы
Оценка эффективности локальной сети
Производительность рабочих станций и серверов ЛВС
Кабельные системы для локальных сетей
История искусства
Архитектура
Интерьеры античности и возраждения в Италии
Вид на Акрополь
План терм Константина; разрез и фасады
План  и разрез Сакристии Сан Лоренцо
Интерьеры XIV—XV веков и эпохи классицизма в России
Интерьеры Успенского собора
Усадьба «Высокие горы»
 
Цифровая фотография

Токи Фуко

 Переменное магнитное поле, проникая внутрь проводника, согласно уравнениям Максвелла создает в нем переменное  вихревое электрическое поле. Это электрическое поле создает вихревые токи электронов (так называемые токи Фуко), что в свою очередь приводит к выделению джоулева тепла внутри проводника. Вычислим среднюю по времени тепловую энергию, выделяющуюся  в единичном объеме проводника в единицу времени (т.е. выделяющуюся мощность), в условия применимости теории нормального скин-эффекта, рассмотренного в предыдущем разделе. Конечно, при вычислении мы должны оперировать с вещественными величинами полей, так как хотим получить квадратичную по ним величину. Получим

 Интегрируя ее по координате z, получим среднюю тепловую энергию, выделяющуюся с единицы поверхности проводника:

Это не что иное, как вектор Пойнтинга, определяющий плотность потока электромагнитной энергии извне внутрь проводника. Отметим, что тепловая энергия пропорциональна квадратному корню из частоты поля. Но частота поля w ограничена также и снизу условием, что толщина скин-слоя d мала по сравнению с размером проводника L. 

 

 

Аномальный скин-эффект

Для чистых металлов при низких температурах Т проводимость s становится очень большой, так что толщина скин-слоя d сильно уменьшается. С другой стороны, при понижении температуры длина свободного пробега электронов в проводнике l возрастает. Таким образом, при низких температурах возникает ситуация, когда d << l. В этом случае закон Ома в стандартной дифференциальной форме, приведенной выше, теряет силу, так как он справедлив лишь, когда электрическое поле однородно на длине свободного пробега (условие макроскопичности системы).

 При наложении внешнего тангенциального переменного магнитного поля в металле возникает тангенциальное переменное электрическое поле (перпендикулярное магнитному). Под действием этого поля электроны движутся с ускорением параллельно поверхности проводника или под малым углом к ней. Эти электроны (их называют скользящими электронами) отбирают энергию от внешнего электромагнитного поля. Существенны лишь те электроны, которые на протяжении всей длины свободного пробега l движутся в пределах скин-слоя толщиной  d. Закон отражения скользящих электронов от поверхности металла близок к зеркальному.

 Ввиду большой длины свободного пробега электронов в кинетическом уравнении для функции распределения f можно пренебречь интегралом столкновений  Член с пространственными производными в кинетическом уравнении имеет оценку  Здесь f – функция распределения, а k – волновое число. Членом с производной по времени можно пренебречь по сравнению с членом с пространственными производными при условии ограничения частоты поля сверху: . Таким образом, кинетическое уравнение Больцмана в слабом электрическом поле с напряженностью Е принимает простой вид

Здесь f0 – функция распределения Ферми для электронов металла, а р – импульс электрона. Полагая, что  и соответственно , получим

,

где e – энергия электрона. Подставляя эти выражения в кинетическое уравнение, находим возмущение функции распределения компонентой Фурье электрического поля:

 Вычислим плотность электронного тока jk (точнее, ее компоненту Фурье), возникающую под действием приложенного электрического поля:

Множитель 2 в квазиклассическом числе состояний появляется из-за двух проекций спина электрона. Подставляя сюда предыдущее выражение для возмущения функции распределения, находим

 (3)

Правило обхода простого полюса в этом соотношении отвечает замене  в разности w – kv, входящей в выражение для поля . При такой замене поле равно нулю, когда (адиабатическое включение поля).

  Пренебрегая расплыванием распределения Ферми f0 (температура Т, выраженная в энергетических единицах, мала по сравнению с энергией Ферми), т.е. считая ее ферми-ступенькой, получим

Подставляя эту зависимость в выражение (3) для тока и записывая , упростим указанное выражение с учетом  (m* – эффективная масса электрона на поверхности Ферми)

 (4)

Здесь остается только интегрирование по телесному углу. Величины pF и vF – импульс и скорость электрона на границе Ферми, соответственно. В качестве полярной оси Z при интегрировании выберем направление k, перпендикулярное поверхности проводника. Поперечное электромагнитное поле Е и плотность тока j направим вдоль оси X. Введем углы q, y сферической системы координат. Тогда можно ввести эффективную удельную проводимость s соотношением jk = skEk, причем согласно (4)

 (5)

Здесь выполнено интегрирование по углу y.

 Заменяя в (5) переменную интегрирования   перепишем проводимость в виде

 (6)

Беря полусумму выражений (5) и (6), перепишем еще раз проводимость в виде

Интеграл в смысле главного значения выпадает из этого выражения; остается лишь вычет в полюсе при q = p/2. Окончательно получаем для компоненты Фурье проводимости простое выражение:

Мы подчеркнули здесь положительность проводимости.

 Обратимся теперь к уравнению Максвелла для напряженности электрического поля в скин-слое. Формально оно полностью аналогично соответствующему уравнению Максвелла для нормального скин-эффекта:

 (7)

Это уравнение записано в координатном представлении. Для перехода к Фурье-компонентам умножаем это уравнение на exp(–ikz) и интегрируем по z. Интегрируя по частям два раза первое слагаемое, находим

 (8)

Учтем, что поле на бесконечности равно нулю, а на поверхности проводника его производная терпит разрыв (см. ниже). Следовательно, последнее слагаемое в (8) равно

 Определим величину разрыва производных. Согласно уравнению Максвелла

имеем в проекциях

 (9)

 При зеркальном отражении скользящих электронов от поверхности проводника функция распределения удовлетворяет граничному условию при z = 0:

Следовательно, электрическое поле распределено симметрично по обе стороны поверхности проводника, т.е.  Оно непрерывно на поверхности проводника. Соответственно, производная от поля является нечетной функцией z. В соответствии с (9) имеем

Таким образом,

 Подставляя полученные результаты в (7), запишем полученное уравнение для компонент Фурье электрического поля:

Отсюда находим компоненту Фурье электрического поля (учитывая связь с ним плотности тока, полученную выше):

.

В координатном представлении напряженность электрического поля получается из приведенного выражения путем обратного преобразования Фурье:

Ввиду четности подынтегрального выражения имеем

 (10)

 Глубина проникновения поля в проводник в соответствии с этим выражением определяется характерными значениями 1/k, т.е., величиной

С ростом частоты глубина проникновения уменьшается, но медленнее, чем при нормальном скин-эффекте (там имела место зависимость w–1/2).

 Из условия d << l можно найти условие на частоту поля, при которой возможно наблюдать аномальный скин-эффект:

При низких температурах, когда  длина свободного пробега электронов в металле l максимальна и порядка 0.01 мм (это уже область остаточного сопротивления металлов, обязанного примесям), получим  оценку w >> 107 1/с. Итак, аномальный скин-эффект наблюдается в чистых металлах  при низкой температуре в СВЧ-диапазоне. При комнатной температуре его область применимости соответствует гораздо большим частотам и невелика.

  Отметим, что закон затухания электрического поля внутри проводника при аномальном скин-эффекте не экспоненциален, в отличие от нормального скин-эффекта. Из (10) следует, что при

z >> d напряженность электрического поля убывает как 1/z2. Действительно, при однократном интегрировании (10) по частям получим

При втором интегрировании по частям получим

Так как величина b пропорциональна частоте поля w, то можно сделать вывод, что амплитуда электрического поля в скин-слое не зависит от частоты.

Основы физики и электротехники. Лекции, курсовые, задачи, учебники