Физика лекции и примеры решения задач

Электротехника
Расчет цепей постоянного тока
Расчет цепей переменного тока
Расчет трехфазных цепей
Примеры  решения типовых задач
Лабораторные работы
Методические указания к решению задачи
Расчет сглаживающего фильтра
Трехфазные цепи
Цепи несиносоидального тока
Математика
Интегрирование тригонометрических функций
Вычисление интегралов от рациональных функций
Интегрирование рациональных функций
Повторные интегралы
Криволинейные интегралы первого рода
Криволинейные интегралы второго рода
Теорема Остроградского-Гаусса
Независимость криволинейных интегралов от пути интегрирования
Физические приложения двойных интегралов
Физические приложения криволинейных интегралов
Физические приложения поверхностных интегралов
Физические приложения тройных интегралов
Теорема Стокса
Поверхностные интегралы первого рода
Поверхностные интегралы второго рода
Тройные интегралы в декартовых координатах
Тройные интегралы в цилиндрических координатах
Тройные интегралы в сферических координатах
Производная показательной и логарифмической функции
Производная степенной функции
Производная произведения и частного функций
Дифференцирование и интегрирование степенных рядов
Найти производную функции
Примеры вычисления производной
Производная обратной функции
Логарифмическое дифференцирование
Исследование функций с помощью производных
Физика
Электродинамика
Электростатика
Электрический ток
Термодинамика
Решение задач
Основные операции над векторами
Кинематика твердого тела
Силы Виды взаимодействий
Закон сохранения импульса
Гравитация Законы Кеплера
Неинерциальные системы отсчета
Механические колебания
Физический маятник
Математический маятник
Резонанс
Специальная теория относительности

Преобразования Лоренца

Математическая физика
Химия
Примеры решения задач
контрольной работы
Современная теория строения
атомов и молекул
Контрольные задания
КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ
Химическая кинетика
Электролиз
Начертательная геометрия
Сечение геометрического тела
Аксонометрические проекции
Сборочный чертеж
Построение тел вращения
Развертка прямой призмы
Машиностроительное черчение
Профиль  резьбы
Работа «Соединение болтом»
Работа «Соединение шпилькой»
Сварные соединения
Разновидность  крепежных изделий
Выполнить эскизы с натуры
Шероховатостью поверхности
Выполнениечертежа сборочной единицы
Деталирование чертежа общего вида
Построение смешанного сопряжения.
Направления штриховки в разрезах
Сопромат
Деформации и перемещения при кручении валов
Расчет статически неопределимых балок
Действие с силами и моментами
Расчеты на прочность по допускаемым напряжениям
Расчет цилиндрических витых пружин

Примеры решения задач на прочность

Ядерная энергетика
Реакторы атомных станций
Ядерное топливо и ядерные отходы
Ядерно-энергетические транспортные установки
Блочный щит управления энергоблока
Реакторы на быстрых нейтронах
АЭС с реакторами ВВЭР нового поколения
РБМК - Реактор Большой Мощности Канальный
ВВЭР и РБМК: сравнительные характеристики
Энергосберегающие технологии
Альтернативная энергетика
Информатика
Тонкая клиентная сеть
Создание корпоративной Webсети
Восстановление ЛВС после аварий
Беспроводные сети
Серверы масштаба предприятия и суперсерверы
Протоколы сетевого управления
Прокси-серверы
Оценка эффективности локальной сети
Производительность рабочих станций и серверов ЛВС
Кабельные системы для локальных сетей
История искусства
Архитектура
Интерьеры античности и возраждения в Италии
Вид на Акрополь
План терм Константина; разрез и фасады
План  и разрез Сакристии Сан Лоренцо
Интерьеры XIV—XV веков и эпохи классицизма в России
Интерьеры Успенского собора
Усадьба «Высокие горы»
 
Цифровая фотография

УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА В ДИЭЛЕКТРИКЕ

В этом разделе мы выведем уравнения Максвелла для макроскопических электрического и магнитного полей в диэлектрической среде, стартуя с уравнений Максвелла в вакууме для микроскопических полей и набора большого числа молекул (или атомов), а также каких-то заданных внешних зарядов и внешних токов. Методика вывода основана на усреднении путем размазывания любого микроскопического заряда (электрона или атомного ядра в молекуле или атоме) по объему, радиус которого, с одной стороны, велик по сравнению с расстоянием между соседними молекулами, так что в усредняемый объем попадает большое число молекул, а с другой стороны, мал по сравнению с макроскопической неоднородностью рассматриваемой системы (например, с размером диэлектрика). 

  Обозначим усредняющую функцию, с помощью которой любой точечный заряд или ток размазываются по некоторому объему, через   Мы не будем конкретизировать ее явный вид, так как получаемые усредненные уравнения Максвелла для макроскопических полей в диэлектрике, конечно, не должны зависеть от механизма усреднения. Нужно только иметь в виду, что характерный размер этой функции удовлетворяет указанным выше ограничениям сверху и снизу. Усредняющая функция предполагается нормированной, так что

 Наиболее просто обстоит дело с первой парой уравнений Максвелла, не содержащей зарядов и токов:

Здесь строчные буквы обозначают микроскопические напряженности электрического и магнитного полей. Усреднение по рецепту

 приводит к таким же уравнениям Максвелла для макроскопических полей (обратим внимание, что среднее значение напряженности микроскопического магнитного поля определено как макроскопическая магнитная индукция):

 

 Теперь обратимся к микроскопическому уравнению Максвелла:

Здесь плотность свободных зарядов определяется какими-то внешними зарядами, и ее усреднение проводится формально так же, как и для напряженностей полей. Оно приводит к макроскопической плотности свободных зарядов, которую мы обозначим как r. Сложнее обстоит дело с плотностью связанных зарядов, под которыми понимаются заряды электронов в молекулах (или атомах), а также заряды атомных ядер в этих молекулах. Обозначим далее через n  – номер молекулы, а через i – номер электрона, или атомного ядра в молекуле; пусть  qin – заряд этого электрона (или ядра) в данной молекуле. Координату молекулы обозначим , а координату электрона (или ядра) в данной молекуле обозначим через . Последняя координата отсчитывается, например, от центра масс данной молекулы, так что она является в макроскопических масштабах весьма малой величиной.

 Таким образом, для усредненного значения плотности связанных зарядов имеем

В дальнейшем мы опускаем зависимость от времени всех величин, подразумевая ее. Разлагая в ряд Тейлора это выражение по малой величине  с точностью до членов первого порядка и учитывая, что нулевой член обращается в нуль при суммировании по i из-за электронейтральности молекулы (если мы имеем дело с ионом или свободным электроном, то нулевой член разложения исчезает после усреднения ввиду нейтральности всей рассматриваемой диэлектрической среды), получим

Сумма по i определяет индуцированный дипольный момент одной молекулы: 

 Суммирование по n определяет дипольный момент единицы объема диэлектрической среды, т.е. по определению вектор диэлектрической поляризации P. Если молекула имеет собственный дипольный момент (полярная молекула), то вследствие теплового движения он ориентирован хаотически в пространстве и при усреднении обращается в нуль. Выстраивание этого момента вдоль внешнего электрического поля определяется функцией распределения Больцмана, заменяющей приведенную выше усредняющую функцию f. Это просто вносит дополнительный вклад в вектор диэлектрической поляризации.

 Итак, получим

что приводит к третьему макроскопическому уравнению Максвелла для вектора электрической индукции:

Напомним, что фигурирующая здесь плотность заряда относится к каким-то внешним свободным макроскопическим зарядам (но не к зарядам свободных электронов, например, в ионосфере: последние формируют вклад только в диэлектрическую проницаемость среды).

Магнитный  дипольный и электрический квадрупольный моменты

  Теперь мы обратимся к последнему, наиболее сложному микроскопическому уравнению Максвелла:

Последнее слагаемое в правой части этого уравнения, называемое микроскопическим током смещения, вытекает из закона Фарадея для циркуляции электрического поля по контуру, вызванного потоком напряженности магнитного поля сквозь этот контур. Плотность свободных токов относится к каким-то макроскопическим токам и не меняется при процедуре усреднения, а плотность микроскопических токов относится к движению электронов в молекулах (движение ядер в молекулах значительно медленнее из-за их большой массы, и мы им пренебрегаем в дальнейшем). Таким образом, при усреднении имеем

Здесь  – скорость соответствующего электрона, и сумма идет только по молекулярным электронам.

 Разложение в ряд Тейлора, аналогичное проведенному выше, по малой величине координаты электрона  дает

  (1) 

Рассмотрим по отдельности  два члена правой части этого выражения. Первое слагаемое может быть представлено в форме

Оно добавляется к току смещения, приводя к макроскопическому току смещения, равному

Теперь проанализируем второе слагаемое в правой части (1). Перепишем его в эквивалентной форме:

 (2)

Первое слагаемое в правой части этого выражения отвечает усреднению градиента производной по времени от тензора квадрупольного момента молекулы, определяемого как

Указанное слагаемое добавляется к дипольной электрической поляризации Р в уравнении Максвелла. Однако эта добавка чрезвычайно мала (см. оценку ниже). Поэтому мы пренебрегаем им в уравнении Максвелла.

  Два последних слагаемых в правой части (2) имеют ту же степень малости, но они добавляются в магнитный член уравнения Максвелла, поэтому их сохраняют. Перепишем эти два слагаемых в более компактной форме:

Здесь вектор магнитной поляризации определен как средний магнитный дипольный момент единицы объема, т.е.

,

и магнитный момент молекулы определен как

 Вводя теперь вектор макроскопической напряженности магнитного поля с помощью соотношения

получим последнее макроскопическое уравнение Максвелла в виде

 Отметим, что в диэлектрике магнитная восприимчивость значительно меньше диэлектрической восприимчивости, так как их отношение имеет оценку v/c, где v – характерная скорость молекулярного (или атомного) электрона. Это видно из определений магнитного и электрического дипольных моментов, приведенных выше. Такую же малость имеет и относительный вклад квадрупольной электрической поляризации, так как слагаемые, связанные с ней, появились вместе с магнитной поляризацией.

Основы физики и электротехники. Лекции, курсовые, задачи, учебники