Примеры решения задач математической физики

Примеры решения волнового уравнения

Решение двухмерного уравнения Пуассона методом конечных разностей

Примеры решения уравнения теплопроводности

Итерационные методы используются, как правило, для решения систем линейных алгебраических уравнений больших размерностей. В частности, при решении многих задач математической физики дискретизация дифференциальных уравнений в частных производных приводит к СЛАУ, содержащим десятки и сотни тысяч уравнений и более

ИТЕРАЦИИ ЯКОБИ И ГАУССА-ЗЕЙДЕЛЯ. КРИТЕРИЙ СХОДИМОСТИ

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ Некоторые задачи математической физики описываются системами дифференциальных уравнений в частных производных. Так, например, процессы переноса и накопления зарядов в полупроводниковых приборах при определенных условиях описываются так называемой фундаментальной системой уравнений (ФСУ) в диффузионно-дрейфовом приближении, в которую входят уравнения непрерывности для электронов и дырок (1.65), (1.66), уравнения плотностей электронной и дырочной составляющих электрического тока и уравнение Пуассона (1.46).

Базисы переменных

ГРАНИЧНЫЕ И НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ Из курса высшей математики известно, что дифференциальные уравнения, как правило, имеют бесконечное множество решений. Это связано с появлением в процессе интегрирования констант, при любых значениях которых решение удовлетворяет исходному уравнению

МЕТОДЫ ДИСКРЕТИЗАЦИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ К сожалению, аналитическое решение уравнений математической физики возможно лишь для весьма ограниченного круга задач. В большинстве случаев решение дифференциальных уравнений в частных производных возможно только с использованием численных итерационных методов

СЕТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ, КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ И ШАБЛОНЫ

МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Суть метода конечных элементов сводится к тому, что множество точек введенной координатной сетки разбивается определенным образом на подмножества, называемые конечными элементами, в пределах каждого из которых искомые функции представляются некоторыми аппроксмациями с неизвесными параметрами. Таким образом, в рамках данного метода исходная система дифференциальных уравнений относительно неизвестных функций записывается в результате дискретизации в виде системы алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов используемых аппроксимаций.

МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ ТОЖДЕСТВ Дискретизация дифференциальных уравнений в частных производных на триангулярных координатных сетках может быть проведена с использованием метода интегральных тождеств [2]. Суть данного метода состоит в следующем. Для дискретизации уравнений математической физики прежде всего в соответствии с условиями задачи строится множество точек координатной сетки, проводится триангуляция Делоне и разбиение Дирихле. Дальнейшие шаги рассмотрим на примере задачи о распределении электростатического поля в области Q объемом V, ограниченной замкнутой поверхностью W с площадью S, непроводящей среды при наличии электрических зарядов, описываемой уравнениями (46) – (48).

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ИТЕРАЦИЯ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ В данном разделе обобщим итерационные методы Якоби и Гаусса – Зейделя, рассмотренные ранее, на случай систем нелинейных алгебраических уравнений, а также рассмотрим метод Ньютона – Рафсона и условия сходимости методов

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Целью дискретизации уравнений математической физики является преобразование дифференциальных уравнений в частных производных в систему алгебраических уравнений (линейных или нелинейных), позволяющую найти решение задачи в узлах прямоугольной (метод конечных разностей) или триангулярной (метод конечных элементов) координатной сетки.

 Разложение в ряды Фурье Эффективным методом решения электростатических задач для проводников является разложение в ряды Фурье, соответствующее геометрии данного проводника.

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД НЬЮТОНА-РАФСОНА

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ В СИСТЕМЕ MATLAB

Резонансы Шумана Рассмотрим низкочастотные собственные электромагнитные колебания в атмосфере, создаваемые грозовыми разрядами. Атмосферу Земли можно рассматривать как сферический резонатор; наружная оболочка этого резонатора есть нижняя граница ионосферы (удельная проводимость составляет 1/с, с последующим увеличением до 1/с в верхних слоях), а внутренняя оболочка образована поверхностью мирового океана (1/с). Толщина такого резонатора км мала по сравнению с радиусом Земли км, что существенно упрощает процедуру решения.

Отражение радиоволн от Е-слоя ионосферы Экспериментальная электронная концентрация  в нижнем слое ионосферы E (90–140 км) линейно растет с высотой  Исследуем отражение радиоволн от этого слоя.

ДИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИ В этой главе мы рассмотрим излучение электромагнитных волн зарядами, движущимися с ускорением. Будем предполагать движение зарядов нерелятивистским. Тогда мы увидим, что излучение определяется переменным дипольным электрическим моментом, а потому и называется дипольным. Колебания заряда могут быть вызваны внешним переменным электрическим полем. В этом случае говорят о рассеянии электромагнитного излучения на зарядах.

Волновое уравнение Многие физические процессы связаны с возникновением колебаний в некоторой среде. Например, колебания струны, колебания мембраны, распространение звуковых колебаний и др. Они описываются волновым уравнением, относящимся к уравнениям гиперболического типа.

Основы физики и электротехники. Лекции, курсовые, задачи, учебники