Основные операции над векторами Кинематика твердого тела Силы Виды взаимодействий Электродинамика Электростатика

Курс лекций по физике Примеры решения типовых задач

Разложение этой разности по степеням  и  подынтегральном выражении начинается с членов первого порядка. Необходимым условием минимальности  является обращение в нуль совокупности этих членов (в разложение входят производные  и , равные нулю, т.к.  минимально). Указанную совокупность первых членов разложения называют вариацией интеграла (в частности – первой вариацией). 

Таким образом, принцип наименьшего действия можно записать в виде: 

 (4.6)

или, произведя варьирование,

. (4.7)

Замечая, что ,проинтегрируем второе слагаемое по частям, используя формулу:

 (4.8)

 и не выписывая для упрощения записи в промежуточных выкладках пределов интегрирования. Имеем:

 (4.9)

далее

;  (4.10)

;  (4.11)

; (4.12)

.

Но, так как , то в выражении для  остается вычитаемое, которое при всех значениях  должно быть равно нулю. Это возможно только, если подынтегральное выражение тождественно обращается в нуль. Т.е. получено уравнение

, (4.13)

 либо для  степеней свободы имеем  уравнений типа:

, (4.14)

 где . Последняя система  уравнений называется уравнениями Лагранжа - в механике (либо уравнениями Эйлера в вариационном исчислении). Если функция Лагранжа данной механической системы известна, то уравнения Лагранжа устанавливают связь между ускорениями, скоростями и координатами, т.е. представляют собой уравнения движения данной системы.


Лабораторные работы по электротехнике