Резонанс Специальная теория относительности Преобразования Лоренца Расчет трехфазных цепей Примеры  решения типовых задач Лабораторные работы

Курс лекций по физике Примеры решения типовых задач

Преобразования Лоренца

Так как преобразования Галилея для достаточно больших скоростей приводят к выводам, противоречащим экспериментам, то появилась необходимость в нахождении других преобразований координат и времени, которые правильно описывают опытные данные. Подобные преобразования называются преобразованиями Лоренца. Они были использованы Эйнштейном, создавшим специальную теорию относительности, которая представляет собой физическую теорию пространства и времени для случая пренебрежимо малых гравитационных полей. В основе специальной теории относительности лежат два принципа: 1. Принцип относительности Эйнштейна: уравнения, выражающие законы природы, ковариантны по отношению к преобразованиям Лоренца 2. Принцип постоянства скорости света: скорость света в вакууме не зависит от скорости движения источников света и, следовательно, одинакова во всех инерциальных системах отсчета.

Ковариантность уравнений относительно некоторого преобразования  означает неизменность их общего вида до и после соответствующего преобразования, хотя величины, входящие в эти уравнения, могут и меняться.

Эйнштейн распространил механический принцип относительности Галилея на все без исключения физические явления, а преобразования Галилея заменил преобразованиями Лоренца.

В дальнейшем будет показано, что скорость света в вакууме (обозначается символом «») является предельной, т.е. никакое воздействие тел друг на друга не может распространяться со скоростями, превышающими . Существование предельной скорости приводит к тому, что пространство и время утрачивают приписывавшуюся им в ньютоновской механике обособленность, независимость друг от друга и оказываются взаимосвязанными, образуя единое четырехмерное пространство-время. Понятие о четырехмерном пространстве-времени впервые было введено Минковским.

Согласно Минковскому «точечное» событие (например, распад элементарной частицы или нахождение этой частицы в фиксированный момент времени в фиксированной точке «обычного» пространства) характеризуется 4-мя величинами: координатами   и временем . Такое событие, отображенное в 4-х мерном пространстве-времени, называется мировой точкой. С течением времени мировая точка изменяет свое положение в пространстве-времени, описывая траекторию, называемую мировой линией. Даже если частица неподвижна в обычном пространстве-времени, ее мировая точка перемещается вдоль прямолинейной мировой линии, параллельной оси .

При переходе к другой инерциальной системе отсчета значения координат   и времени  частицы изменяются и становятся равными . В общем случае преобразования имеют вид:

;

; . (12.20)

Общий вид функций  определяется общими свойствами пространства-времени. Главными свойствами пространства в инерциальных системах отсчета являются его однородность и изотропность. Время обладает свойством однородности.

Из однородности пространства и времени следует, что функции  должны быть линейными. Действительно, рассмотрим бесконечно малое изменение , т.е. разность координат  2-х бесконечно близких точек. В не штрихованной (условно неподвижной) системе им будут соответствовать бесконечно малые разности координат  и времени . Согласно формуле полного дифференциала:

.  (12.21)

В силу однородности пространства и времени эти соотношения должны быть одинаковыми для всех точек пространства и для любых моментов времени. А это означает, что величины , ,  не должны зависеть от координат и времени, т.е. являются постоянными. Поэтому функция  имеет следующий вид:

,  (12.22)

где  - постоянные, не зависящие от координат и времени величины. Таким образом функция  является линейной функцией своих аргументов. Аналогично доказывается линейность функций .

Получим явный вид для . Пусть имеются инерциальные системы отсчета   и  (см. Рис. 12.2). Система  движется со скоростью  вдоль оси , совпадающей с осью , относительно системы . При указанном на Рис. 5.2 направлении координатных осей плоскость  совпадает с плоскостью , а плоскость  совпадает с плоскостью . Отсюда вытекает, что, например, координаты и   должны обращаться в нуль одновременно, независимо от значений других координат и времени. Это возможно лишь при условии:

,  (12.23)

где, вследствие линейности уравнений,  - постоянная величина. В виду равноправности систем  и   по отношению к координатам  и  (координаты  и  равноправны по отношению к движению вдоль оси ), обратное преобразование должно иметь вид:

 (12.24)

с тем же значением , что и при прямом преобразовании. Перемножив оба соотношения, найдем, что , откуда . Для одинаково направленных осей надо взять . Окончательно:

. (12.25)

Аналогично имеем:

. (12.26)

Из 2-х последних соотношений вытекает, что  и  не зависят от  и . Справедливо и обратное:  и  не зависят от  и . Соответственно,  и  не могут зависеть от  и . Это означает, что  и  являются линейными функциями только  и .

В силу равноправности систем  и , коэффициент  должен быть в обоих случаях один и тот же.

Для получения формул преобразования времени выполним над последними 2-мя уравнениями следующие процедуры

При скоростях много меньших скорости света () преобразования Лоренца практически не отличаются от преобразований Галилея.

События, происходящие одновременно в разных точках пространства (система ), в силу конечной скорости распространения взаимодействия, не могут оказывать взаимодействия друг на друга и. следовательно, быть причинно связанными.

Для орбитальной скорости Земли  лоренцево сокращение является причиной сокращения диаметра Земли в системе координат, связанной с Солнцем, примерно на .

В какой бы системе отсчета не рассматривалось движение частицы, промежуток собственного времени измеряется по часам системы, в которой частица покоится.

Итак, для преобразований Лоренца (т.е. для релятивистского случая движения со скоростями, близкими к скорости света в вакууме) известны три инварианта: 1. скорость света в вакууме, 2. промежуток собственного времени   и интервал между событиями .

Расстояние  между точками, в которых происходят события, разделенные пространственноподобным интервалом, превышает . Поэтому такие события не могут воздействовать друг на друга и, следовательно, не могут быть причинно связанными.

Преобразование и сложение скоростей

Пусть частица движется параллельно осям  и  в направлении скорости . Тогда   совпадает с модулем скорости частицы   в системе , а  - с модулем скорости  частицы в системе  и формула, определяющая  через  и  , будет иметь вид:

Определим взаимосвязь компонентов  и ускорений частицы в системах  и , соответственно.

Релятивистская энергия Из 2-х возможных в ньютоновской механике формулировок  закона Ньютона (  и ) в релятивистской механике справедливо только соотношение:

.

Функции, дифференциалы которых равны друг другу, могут отличаться только на постоянную величину

В полную энергию не входит потенциальная энергия взаимодействия частицы во внешних силовых полях.

Взаимосвязь массы и энергии покоя Согласно формуле для энергии покоя, всякое изменение массы тела  сопровождается изменением энергии покоя :

Частицы с нулевой массой Законы ньютоновской механики не допускают существования частиц с нулевой массой.

Как преобразуется скорость и ускорение частицы при переходе от одной инерциальной системы к другой?

Приведите графическую интерпретацию относительности одновременности событий, происходящих в разных точках пространства и разделенных мнимым интервалом.


Примеры решения типовых задач по электротехнике