Интегрирование рациональных функций Криволинейные интегралы второго рода Поверхностные интегралы первого рода Тройные интегралы в декартовых координатах Производная степенной функции Найти производную функции

Выполнение курсовых (контрольных) работ по математике

Поверхностные интегралы второго рода

Рассмотрим векторное поле и поверхность S, которая описывается вектором

Предполагается, что функции x(u,v), y(u,v), z(u,v) являются непрерывно дифференцируемыми в некоторой области D(u,v), и что ранг матрицы равен 2. Обозначим через единичный нормальный вектор к поверхности S в точке (x,y,z). Если поверхность S гладкая и векторная функция непрерывна, то в каждой точке поверхности существуют два противоположно направленных единичных нормальных вектора: Выбор одного из них называется ориентацией поверхности. Если S является границей ограниченной области, то ее можно ориентировать внешней или внутренней нормалями. Поверхность S, ориентированную внешней нормалью, называют ее внешней стороной, а ориентированную внутренней нормалью, − ее внутренней стороной. Поверхностный интеграл второго рода от векторного поля по ориентированной поверхности S (или поток векторного поля через поверхность S) может быть записан в одной из следующих форм:

Величина называется векторным элементом поверхности. Точка обозначает скалярное произведение соответствующих векторов. Частные производные, входящие в последние формулы, вычисляются следующим образом:

Если поверхность S задана явно в виде уравнения z = z(x,y), где z(x,y) − дифференцируемая функция в области D(x,y), то поверхностный интеграл второго рода от векторного поля по поверхности S записывается в одной из следующих форм

Вычислить поверхностный интеграл от векторного поля по внутренне ориентированной поверхности S, заданной уравнением , где .

Оценить поток векторного поля через коническую поверхность , ориентированную внешней стороной.

Оценить поток векторного поля через внутреннюю сторону единичной сферы .

Вычислить интеграл , где S − часть внутренней поверхности эллипсоида, заданного параметрически в виде .

Найти интеграл , где S − внутренняя поверхность сферы .

 


Тройные интегралы в цилиндрических координатах