Интегрирование тригонометрических функций Вычисление интегралов от рациональных функций Повторные интегралы Криволинейные интегралы первого рода Теорема Остроградского-Гаусса Физические приложения двойных интегралов

Выполнение курсовых (контрольных) работ по математике

Криволинейные интегралы второго рода

Определение Предположим, что кривая C задана векторной функцией , где переменная s − длина дуги кривой. Тогда производная векторной функции представляет собой единичный вектор, направленный вдоль касательной к данной кривой (рисунок 1). В приведенной выше формуле α, β и γ − углы между касательной и положительными направлениями осей Ox, Oy и Oz, соответственно.
Рис.1
Рис.2
Введем векторную функцию , определенную на кривой C, так, чтобы для скалярной функции существовал криволинейный интеграл . Такой интеграл называется криволинейным интегралом второго рода от векторной функции вдоль кривой C и обозначается как Таким образом, по определению, где − единичный вектор касательной к кривой C. Последнюю формулу можно переписать также в векторной форме: где . Если кривая C лежит в плоскости Oxy, то полагая R = 0, получаем Свойства криволинейного интеграла второго рода Криволинейный интеграл II рода обладает следующими свойствами:
  • Пусть C обозначает кривую с началом в точке A и конечной точкой B. Обозначим через −C кривую противоположного направления - от B к A. Тогда
  • Если C − объединение кривых C1 и C2 (рисунок 2 выше), то
  • Если кривая C задана параметрически в виде , то
  • Если кривая C лежит в плоскости Oxy и задана уравнением (предполагается, что R =0 и t = x), то последняя формула записывается в виде
  • Вычислить интеграл , где кривая C задана параметрически в виде .

    Вычислить вдоль кривой от точки O (0,0) до A (1,1)

    Вычислить криволинейный интеграл вдоль кривой в интервале

    Вычислить криволинейный интеграл , где C − дуга эллипса (рисунок 6), заданного параметрически в виде .

    Дифференцирование и интегрирование степенных рядов