Интегрирование рациональных функций Криволинейные интегралы второго рода Физические приложения тройных интегралов Тройные интегралы в сферических координатах Примеры вычисления производной Логарифмическое дифференцирование

Выполнение курсовых (контрольных) работ по математике

Логарифмическое дифференцирование

Пусть функция  дифференцируема в точке x и принимает в этой точке положительное значение. Тогда в окрестности этой точки существует функция   Эту функцию можно рассматривать как сложную функцию аргумента x с промежуточным аргументом y. Продифференцируем эту функцию:

.  Из этого соотношения можно выразить производную . Такая операция нахождения производной после предварительного логарифмирования называется логарифмическим дифференцированием. Существуют функции, производную которых можно найти только таким способом. К числу этих функций относится степенно-показательная функция , где  и  – дифференцируемые функции аргумента x. В качестве примера найдём производную этой функции с помощью логарифмического дифференцирования.

Прологарифмируем эту функцию: .

Продифференцируем обе части полученного равенства:  , отсюда (т.к. )

.

Раскрыв скобки, получим окончательную формулу

  (13.1)

Рассмотрим пример конкретной функции.

Пример. Найти производную функции .

Решение. Можно сразу воспользоваться формулой (13.1), но можно выполнить логарифмическое дифференцирование и непосредственно:

,

.

Бывают случаи, когда применение логарифмического дифференцирования не необходимо, но целесообразно. Пусть, например, . Конечно, в этом случае можно непосредственно воспользоваться правилами вычисления производной, но логарифмическое дифференцирование упрощает выкладки:

,

,

.

Односторонние производные

Производные высших порядков

Свойства дифференцируемых функций Возрастание и убывание функции в точке и на интервале

Локальный максимум и локальный минимум функции

Теорема Ролля Теорема Лагранжа

Теорема Коши Следующую теорему можно рассматривать как обобщение теоремы Лагранжа.

Условие постоянства функции на интервале

Условия монотонности функции на интервале Рассмотрим сначала достаточные условия строгой монотонности функции на интервале.


Физические приложения поверхностных интегралов