Типовой | |||
Физика | |||
Контрольная | |||
На главную | |||
Производная показательной и логарифмической функции
Предполагается, что основание a показательной и логарифмической функции больше нуля и не равно единице: a > 0, a ≠ 1. Производная показательной функции y = ax с основанием a определяется формулой
где ln a - натуральный логарифм a, т.е. логарифм a по основанию е, приблизительно равному 2,718281828... (2.7, затем два раза год рождения Л.Н.Толстого). Знаменитое трансцендентное число е можно вычислить с любой степенью точности с помощью различных компьютерных алгоритмов. Если a = е, то получаем красивый результат в виде
Производная логарифмической функции y = loga x определяется выражением
Для натурального логарифма y = ln x производная равна
![]()
Пример Найти производную функции
Решение. Дифференцируя данную показательную функцию как сложную, находим.
![]()
Вычисление площадей и объёмов с помощью двойных интегралов.
а) Объём.
Как мы знаем, объем V тела, ограниченного поверхностью
, где
- неотрицательная функция, плоскостью
и цилиндрической поверхностью, направляющей для которой служит граница области D, а образующие параллельны оси Oz, равен двойному интегралу от функции
по области D :
Пример . Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями x=0, у=0, х+у+z=1, z=0 (рис. 17).
![]()
Рис.17 Рис.18
Решение.
D - заштрихованная на рис. 17 треугольная область в плоскости Оху, ограниченная прямыми x=0, у=0, x+y=1. Расставляя пределы в двойном интеграле, вычислим объем:
Итак,
куб. единиц.
Замечание 1. Если тело, объем которого ищется, ограничено сверху поверхностью
а снизу—поверхностью
, причем проекцией обеих поверхностей на плоскость Оху является область D, то объем V этого тела равен разности объемов двух «цилиндрических» тел; первое из этих цилиндрических тел имеет нижним основанием область D, а верхним - поверхность
второе тело имеет нижним основанием также область D, а верхним - поверхность
(рис.18).
Поэтому объём V равен разности двух двойных интегралов :
или
(1)
Легко, далее, доказать, что формула (1) верна не только в том случае, когда
и
неотрицательны, но и тогда, когда
и
- любые непрерывные функции, удовлетворяющие соотношению
Производные гиперболических функций легко находятся, поскольку гиперболические функции являются комбинациями ex и e−x.
|