Производная показательной и логарифмической функции
Предполагается, что основание a показательной и логарифмической функции больше нуля и не равно единице: a > 0, a ≠ 1. Производная показательной функции y = ax с основанием a определяется формулой
где ln a - натуральный логарифм a, т.е. логарифм a по основанию е,
приблизительно равному 2,718281828... (2.7, затем два раза год рождения Л.Н.Толстого).
Знаменитое трансцендентное число е можно вычислить с любой степенью точности с
помощью различных компьютерных алгоритмов. Если a = е, то получаем
красивый результат в виде 
Производная
логарифмической функции y = loga x определяется выражением
Для натурального логарифма y
= ln x производная равна 
Пример Найти производную функции 
.
Вычисление площадей и объёмов с помощью двойных интегралов.
а) Объём.
Как мы знаем,
объем V тела, ограниченного поверхностью 
, где 
- неотрицательная функция, плоскостью 
и цилиндрической поверхностью, направляющей
для которой служит граница области D, а образующие параллельны оси Oz, равен двойному
интегралу от функции по области D :
Пример . Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями x=0, у=0, х+у+z=1, z=0 (рис. 17).
Рис.17 Рис.18
Решение. 
D - заштрихованная на рис. 17 треугольная область в плоскости
Оху, ограниченная прямыми x=0, у=0, x+y=1. Расставляя пределы в двойном интеграле,
вычислим объем: 
Итак, 
куб. единиц.
Замечание 1. Если тело, объем которого ищется, ограничено
сверху поверхностью 
а снизу—поверхностью
, причем проекцией обеих поверхностей
на плоскость Оху является область D, то объем V этого тела равен разности объемов
двух «цилиндрических» тел; первое из этих цилиндрических тел имеет нижним основанием
область D, а верхним - поверхность 
второе тело имеет нижним основанием также область D, а верхним - поверхность
(рис.18).
Поэтому объём V равен разности двух двойных интегралов :
или
(1)
Легко, далее, доказать, что формула (1) верна не только в том случае,
когда 
и 
неотрицательны, но и тогда, когда
и - любые непрерывные функции, удовлетворяющие
соотношению
Производные гиперболических функций легко находятся, поскольку гиперболические функции являются комбинациями ex и e−x.
